Rotacional zero, mas campo não conservativo Mostre que o rotacional de
F=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j+z k
é zero, mas que
ointC F cdot d r
não é zero se C for a circunferência x^2+y^2=1 no plano x y. ( O Teorema 7 não se aplica aqui, porque o domínio de F não é simplesmente conexo. O campo F não é definido ao longo do eixo z, porque não existe uma forma de contrair C a um ponto sem deixar o domínio de F.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F = -yx^2+y^2 i + xx^2+y^2 j + z k e queremos mostrar duas coisas:
  1. O rotacional (ou curl) de F é zero.
  2. A integral de linha de F ao redor de uma circunferência C definida por x^2+y^2=1 no plano xy não é zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular uma integral de linha, e o que significa o domínio do campo ser simplesmente conexo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F. O rotacional de um campo vetorial F = P i + Q j + R k é dado por:
curl F = nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P, Q e R no nosso campo F:
P = -yx^2+y^2, Q = xx^2+y^2, R = z
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 3

Primeira componente do rotacional:
partial Rpartial y - partial Qpartial z
Como R = z, temos partial Rpartial y = 0. E Q = xx^2+y^2 não depende de z, então partial Qpartial z = 0.
Portanto, a primeira componente é:
0 - 0 = 0

Passo 4

Segunda componente do rotacional:
partial Ppartial z - partial Rpartial x
Novamente, P = -yx^2+y^2 não depende de z, então partial Ppartial z = 0. E R = z, então partial Rpartial x = 0.
Então, a segunda componente também é:
0 - 0 = 0

Passo 5

Terceira componente do rotacional:
partial Qpartial x - partial Ppartial y
Vamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y separadamente.
Primeiro, partial Qpartial x onde Q = xx^2+y^2:
Usamos a regra do quociente:
partial Qpartial x = (1)(x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2
Agora, partial Ppartial y onde P = -yx^2+y^2:
Também usamos a regra do quociente:
partial Ppartial y = (-1)(x^2+y^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2 (x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2 (x^2+y^2)^2
Agora, subtraindo:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 - -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2 = 0

Passo 6

Então, juntando as três componentes do rotacional:
curl F = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Mostramos que o rotacional de F é zero.

Passo 7

Agora, vamos mostrar que a integral de linha de F ao redor de C, onde C é a circunferência x^2+y^2=1 no plano xy, não é zero.
A integral de linha é dada por:
ointC F cdot dr
Vamos parametrizar o caminho C. Como é uma circunferência de raio 1 no plano xy, podemos usar:
x = cos theta, y = sin theta, z = 0, theta in [0, 2pi]
Então, o vetor posição r(theta) = cos theta i + sin theta j, e o diferencial dr é:
dr = drdtheta dtheta = (-sin theta i + cos theta j) dtheta

Passo 8

Substituindo x, y, e z na expressão de F:
F = -sin theta cos^2 theta + sin^2 theta i + cos theta cos^2 theta + sin^2 theta j + 0 k
Como cos^2 theta + sin^2 theta = 1, simplificamos:
F = -sin theta i + cos theta j

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (-sin theta i + cos theta j) cdot (-sin theta i + cos theta j) dtheta
= (sin^2 theta + cos^2 theta) dtheta = 1 cdot dtheta = dtheta

Passo 10

Então, a integral de linha se torna:
ointC F cdot dr = integral0^2pi dtheta = 2pi
Isso significa que a integral de linha de F ao redor de C é 2pi, que não é zero.

Resposta

Assim, mostramos que o rotacional de F é zero, mas a integral de linha de F ao redor da circunferência C no plano xy é 2pi, ou seja, não é zero.

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