Rotacional zero, mas campo não conservativo Mostre que o rotacional de
é zero, mas que
não é zero se
for a circunferência
no plano
. ( O Teorema 7 não se aplica aqui, porque o domínio de
não é simplesmente conexo. O campo
não é definido ao longo do eixo
, porque não existe uma forma de contrair
a um ponto sem deixar o domínio de F.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e queremos mostrar duas coisas:
- O rotacional (ou curl) de
é zero. - A integral de linha de
ao redor de uma circunferência definida por no plano não é zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como calcular uma integral de linha, e o que significa o domínio do campo ser simplesmente conexo. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo
:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.
Passo 3
Primeira componente do rotacional:
Como
, temos
. E
não depende de
, então
.
Portanto, a primeira componente é:
Passo 4
Segunda componente do rotacional:
Novamente,
não depende de
, então
. E
, então
.
Então, a segunda componente também é:
Passo 5
Terceira componente do rotacional:
Vamos calcular
e
separadamente.
Primeiro,
onde
:
Usamos a regra do quociente:
Agora,
onde
:
Também usamos a regra do quociente:
Agora, subtraindo:
Passo 6
Então, juntando as três componentes do rotacional:
Mostramos que o rotacional de
é zero.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que a integral de linha de
ao redor de
, onde
é a circunferência
no plano
, não é zero.
A integral de linha é dada por:
Vamos parametrizar o caminho
. Como é uma circunferência de raio 1 no plano
, podemos usar:
Então, o vetor posição
, e o diferencial
é:
Passo 8
Substituindo
,
, e
na expressão de
:
Como
, simplificamos:
Passo 9
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 10
Então, a integral de linha se torna:
Isso significa que a integral de linha de
ao redor de
é
, que não é zero.
Resposta
Assim, mostramos que o rotacional de
é zero, mas a integral de linha de
ao redor da circunferência
no plano
é
, ou seja, não é zero.