Circulação zero Utilize a identidade nabla times nabla f=0 (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
F=2 x i+2 y j+2 z k.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem um campo vetorial F = 2x,i + 2y,j + 2z,k e precisa mostrar que a circulação desse campo ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço é zero. Para isso, vamos usar duas ferramentas importantes: a identidade nabla times nabla f = 0 e o Teorema de Stokes. Vamos precisar entender o que é circulação, o que é o rotacional de um campo e como aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre circulação. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva é basicamente a tendência do campo de “girar” ao longo dessa curva. Matematicamente, é calculada como a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva.

Passo 3

Agora, o rotacional de um campo vetorial, denotado por nabla times F, mede a tendência do campo de girar em torno de cada ponto no espaço. Se o rotacional for zero em toda parte, dizemos que o campo é irrotacional.

Passo 4

A identidade que o exercício mencionou, nabla times nabla f = 0, nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar f é sempre zero. Isso é uma propriedade fundamental dos campos derivados de gradientes.

Passo 5

Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com o fluxo do rotacional desse campo através da superfície limitada por essa curva. A fórmula do teorema é:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Onde partial S é a borda da superfície S.

Passo 6

Calculando o rotacional de F:
nabla times F = nabla times (2x,i + 2y,j + 2z,k)
Usamos a definição de rotacional:
nabla times F = ( partial (2z)partial y - partial (2y)partial z )i - ( partial (2z)partial x - partial (2x)partial z )j + ( partial (2y)partial x - partial (2x)partial y )k
Simplificando cada termo:
nabla times F = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (0 - 0)k = 0

Passo 7

Agora que sabemos que nabla times F = 0, aplicamos o Teorema de Stokes:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS 0 cdot dS = 0
Ou seja, a circulação de F ao redor de qualquer curva fechada que seja a borda de uma superfície lisa e orientável é zero.

Resposta

A circulação do campo F = 2x,i + 2y,j + 2z,k ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço é zero.

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