Circulação zero Utilize a identidade
(Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem um campo vetorial
e precisa mostrar que a circulação desse campo ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço é zero. Para isso, vamos usar duas ferramentas importantes: a identidade
e o Teorema de Stokes. Vamos precisar entender o que é circulação, o que é o rotacional de um campo e como aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre circulação. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva é basicamente a tendência do campo de “girar” ao longo dessa curva. Matematicamente, é calculada como a integral de linha do campo vetorial ao longo da curva.
Passo 3
Agora, o rotacional de um campo vetorial, denotado por
, mede a tendência do campo de girar em torno de cada ponto no espaço. Se o rotacional for zero em toda parte, dizemos que o campo é irrotacional.
Passo 4
A identidade que o exercício mencionou,
, nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar
é sempre zero. Isso é uma propriedade fundamental dos campos derivados de gradientes.
Passo 5
Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com o fluxo do rotacional desse campo através da superfície limitada por essa curva. A fórmula do teorema é:
Onde
é a borda da superfície
.
Passo 6
Calculando o rotacional de
:
Usamos a definição de rotacional:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora que sabemos que
, aplicamos o Teorema de Stokes:
Ou seja, a circulação de
ao redor de qualquer curva fechada que seja a borda de uma superfície lisa e orientável é zero.
Resposta
A circulação do campo
ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço é zero.