Circulação zero Utilize a identidade nabla times nabla f=0 (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
F=nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a circulação do campo F = nabla f ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço é zero. Isso tá relacionado com o estudo de campos vetoriais, o rotacional ( nabla times), e o Teorema de Stokes. Vamos usar a identidade nabla times nabla f = 0 e o Teorema de Stokes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por nabla times F, mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. No nosso caso, F = nabla f é o gradiente de uma função escalar f.

Passo 3

A identidade que a gente vai usar é nabla times nabla f = 0. Isso quer dizer que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Ou seja, campos que são gradientes de funções escalares são chamados de campos conservativos e são irrotacionais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma borda partial S de uma superfície S com o rotacional desse campo através da superfície. Matematicamente, é escrito como:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
No nosso caso, F = nabla f.

Passo 5

Substituindo F na equação do Teorema de Stokes, temos:
ointpartial S nabla f cdot dr = integral duplaS (nabla times nabla f) cdot dS
Mas já sabemos que nabla times nabla f = 0. Então,

Passo 6

integral duplaS 0 cdot dS = 0
Isso significa que a integral de superfície do rotacional é zero.

Passo 7

Portanto, a circulação ao redor da borda partial S é:
ointpartial S nabla f cdot dr = 0

Resposta

A circulação do campo F = nabla f ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável é zero.

Exercícios relacionados