Circulação zero Utilize a identidade
(Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a circulação do campo
ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço é zero. Isso tá relacionado com o estudo de campos vetoriais, o rotacional (
), e o Teorema de Stokes. Vamos usar a identidade
e o Teorema de Stokes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por
, mede a tendência de rotação do campo ao redor de um ponto. No nosso caso,
é o gradiente de uma função escalar
.
Passo 3
A identidade que a gente vai usar é
. Isso quer dizer que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Ou seja, campos que são gradientes de funções escalares são chamados de campos conservativos e são irrotacionais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma borda
de uma superfície
com o rotacional desse campo através da superfície. Matematicamente, é escrito como:
No nosso caso,
.
Passo 5
Substituindo
na equação do Teorema de Stokes, temos:
Mas já sabemos que
. Então,
Passo 6
Isso significa que a integral de superfície do rotacional é zero.
Passo 7
Portanto, a circulação ao redor da borda
é:
Resposta
A circulação do campo
ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável é zero.