Circulação zero Utilize a identidade
(Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que as circulações de um certo campo vetorial ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço são zero. O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o rotacional (também conhecido como “curl”) e o teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é circulação, rotacional e como aplicar o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a circulação de um campo vetorial. A circulação é uma medida de quão “girar” o campo vetorial ao redor de uma curva fechada. Matematicamente, é representada pela integral de linha do campo vetorial ao longo da curva:
Aqui,
representa a borda da superfície
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com o campo vetorial dado:
Isso significa que
é o rotacional de outro campo vetorial
.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
:
Usando a definição do rotacional:
Calculando cada termo:
Então,
.
Passo 5
Com
, a circulação fica:
Passo 6
Além disso, usando a identidade
, sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Aqui,
é o rotacional de
, que não é exatamente um gradiente, mas já vimos que o rotacional de
é zero.
Passo 7
Aplicando o teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao rotacional desse campo sobre uma superfície, temos:
Mas como
, o rotacional de
também é zero:
Resposta
A circulação do campo
ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero.