Circulação zero Utilize a identidade nabla times nabla f=0 (Equação 8 no texto) e o teorema de Stokes para mostrar que as circulações dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço são zero.
F=nabla times(x i+y j+z k).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que as circulações de um certo campo vetorial ao redor da borda de qualquer superfície lisa e orientável no espaço são zero. O conteúdo envolve cálculo vetorial, especificamente o rotacional (também conhecido como “curl”) e o teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é circulação, rotacional e como aplicar o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a circulação de um campo vetorial. A circulação é uma medida de quão “girar” o campo vetorial ao redor de uma curva fechada. Matematicamente, é representada pela integral de linha do campo vetorial ao longo da curva:
ointpartial S F cdot dr
Aqui, partial S representa a borda da superfície S.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com o campo vetorial dado:
F = nabla times (x i + y j + z k)
Isso significa que F é o rotacional de outro campo vetorial G = x i + y j + z k.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de G:
nabla times G = nabla times (x i + y j + z k)
Usando a definição do rotacional:
nabla times G = ( partial zpartial y - partial ypartial z ) i - ( partial zpartial x - partial xpartial z ) j + ( partial ypartial x - partial xpartial y ) k
Calculando cada termo:
= (0 - 0) i - (0 - 0) j + (0 - 0) k = 0
Então, F = 0.

Passo 5

Com F = 0, a circulação fica:
ointpartial S F cdot dr = ointpartial S 0 cdot dr = 0

Passo 6

Além disso, usando a identidade nabla times nabla f = 0, sabemos que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Aqui, F é o rotacional de G, que não é exatamente um gradiente, mas já vimos que o rotacional de G é zero.

Passo 7

Aplicando o teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo vetorial ao rotacional desse campo sobre uma superfície, temos:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS
Mas como F = 0, o rotacional de F também é zero:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS 0 cdot dS = 0

Resposta

A circulação do campo F = nabla times(x i+y j+z k) ao redor da borda de qualquer superfície lisa orientável no espaço é zero.

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