A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por alpha(t)=4 t-3 t^2+t^3, onde alpha está em radianos e tem segundos. Qual é a velocidade angular em t=4,0 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a posição angular de um ponto na borda de uma roda, dada por uma função de tempo: alpha(t) = 4t - 3t^2 + t^3. A gente precisa encontrar a velocidade angular nesse ponto quando t = 4,0 segundos. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da função da posição angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. A velocidade angular ( omega) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Ou seja, ela nos diz quão rápido está mudando a posição angular do ponto na roda. Matematicamente, a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:
omega(t) = dalpha(t)dt

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função alpha(t) = 4t - 3t^2 + t^3. Usamos as regras básicas de derivação para cada termo:
  • A derivada de 4t em relação a t é 4.
  • A derivada de -3t^2 em relação a t é -6t (já que d(t^n)/dt = nt^n-1).
  • A derivada de t^3 em relação a t é 3t^2.
Então, a derivada completa fica:
omega(t) = dalpha(t)dt = 4 - 6t + 3t^2

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade angular, vamos substituir t = 4,0 segundos na função omega(t):
omega(4) = 4 - 6(4) + 3(4)^2
Vamos calcular passo a passo:
  • 6 times 4 = 24
  • (4)^2 = 16, então 3 times 16 = 48
Substituindo de volta:
omega(4) = 4 - 24 + 48 = 28

Resposta

A velocidade angular em t = 4,0 segundos é 28 rad/s.

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