A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por
, onde
está em radianos e tem segundos. Qual é a velocidade angular em
s?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a posição angular de um ponto na borda de uma roda, dada por uma função de tempo:
. A gente precisa encontrar a velocidade angular nesse ponto quando
segundos. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a derivada da função da posição angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. A velocidade angular (
) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Ou seja, ela nos diz quão rápido está mudando a posição angular do ponto na roda. Matematicamente, a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. Usamos as regras básicas de derivação para cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (já que ). - A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada completa fica:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade angular, vamos substituir
segundos na função
:
Vamos calcular passo a passo:
-
-
, então
Substituindo de volta:
Resposta
A velocidade angular em
segundos é 28 rad/s.