A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por alpha(t)=4 t-3 t^2+t^3, onde alpha está em radianos e tem segundos. Qual é a aceleração angular média no intervalo de tempo que começa em t=2,0 se termina em t=4,0 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição angular de um ponto na borda de uma roda, dada pela função alpha(t) = 4t - 3t^2 + t^3, onde alpha está em radianos e t em segundos. A gente precisa encontrar a aceleração angular média no intervalo de tempo de t = 2,0 s até t = 4,0 s. Vamos usar conceitos de cinemática angular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular. Para encontrar a aceleração média nesse intervalo, precisamos calcular a velocidade angular nos tempos inicial e final e depois ver a diferença entre elas dividida pelo intervalo de tempo.

Passo 3

A velocidade angular omega(t) é a primeira derivada da posição angular alpha(t) em relação ao tempo t. Então, vamos derivar alpha(t):
omega(t) = dalpha(t)dt = ddt(4t - 3t^2 + t^3) = 4 - 6t + 3t^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade angular nos dois tempos de interesse.
Para t = 2,0 s:
omega(2) = 4 - 6(2) + 3(2)^2 = 4 - 12 + 12 = 4 , rad/s
Para t = 4,0 s:
omega(4) = 4 - 6(4) + 3(4)^2 = 4 - 24 + 48 = 28 , rad/s

Passo 5

Agora que temos omega(2) = 4 , rad/s e omega(4) = 28 , rad/s, vamos calcular a aceleração angular média ( alphamédiaé) usando a fórmula:
alphamédia = Deé

Resposta

A aceleração angular média no intervalo de t = 2,0 s a t = 4,0 s é de 12 , rad/s^2.

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