Um subconjunto A do plano é limitado se consiste de pontos interiores a um círculo.
(a) Mostre que A é limitado se, e somente se, A consiste de pontos interiores a um círculo centrado na origem.
(b) Um subconjunto A do plano é ilimitado quando não é limitado. Mostre que A é ilimitado se, e somente se, A possui pontos exteriores a qualquer círculo centrado na origem.
(c) Mostre que o conjunto A=(x, y) in R^2 mid x^3+y^3=1 é ilimitado.

Passo 1

O enunciado trata de noções de conjunto limitado (bounded) e ilimitado (unbounded) em R^2, usando círculos. Em (a) queremos mostrar que “ser limitado” é equivalente a “estar contido num círculo centrado na origem”. Em (b) queremos traduzir a negação dessa afirmação para caracterizar conjuntos ilimitados. Em (c) vamos aplicar isso ao conjunto A=(x,y)inR^2mid x^3+y^3=1 e mostrar que ele é ilimitado.

Passo 2

(a) “Se A é limitado, então existe um círculo qualquer que o contenha por inteiro. ”
Por hipótese, AsubsetPinR^2mid|P-C|<R para algum centro C e raio R>0. Seja d=|C|. Então, para todo PinA,
|P| <= |P-C| + |C| < R + d
Isto mostra que
Asubset PinR^2mid |P|<R+d,
ou seja, A está contido num círculo de raio R+d centrado na origem.

Passo 3

(a) “Se A está contido num círculo centrado na origem, então é limitado.”
Isto é imediato: se existe S>0 tal que
Asubset PinR^2mid |P|<S,
então A consiste de pontos interiores a um círculo (o próprio de centro na origem e raio S), logo é limitado.

Passo 4

(b) Por definição, “ A é ilimitado” significa “ A não é limitado”. Pela parte (a) isso equivale a dizer que não existe S>0 tal que
Asubset Pmid |P|<S
A negação desta inclusão é: para todo S>0 existe PinA com |P|>= S. Em outras palavras, A tem sempre pontos exteriores a qualquer círculo centrado na origem.

Passo 5

(c) Considere A=(x,y)mid x^3+y^3=1. Dado qualquer R>0, basta escolher x suficientemente negativo para que |x|>R. Então
y^3 = 1 - x^3 Longrightarrow y = raiz[,3],1 - x^3,,
e l|yr|approx l|xr| quando |x| é grande. Portanto |(x,y)|>= |x|>R. Como isso vale para todo R, concluímos que A é ilimitado.

Resposta

(a) Vimos que se A está em algum círculo então está num de centro origem (e vice-versa).
(b) A é ilimitado iff para todo raio R há ponto de A com |P|>= R.
(c) O conjunto x^3+y^3=1 é ilimitado porque escolhemos xto-infty e obtemos |(x,y)|toinfty.

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