Um subconjunto do plano é limitado se consiste de pontos interiores a um círculo.
(a) Mostre que é limitado se, e somente se, consiste de pontos interiores a um círculo centrado na origem.
(b) Um subconjunto do plano é ilimitado quando não é limitado. Mostre que é ilimitado se, e somente se, possui pontos exteriores a qualquer círculo centrado na origem.
(c) Mostre que o conjunto é ilimitado.
Passo 1
O enunciado trata de noções de conjunto limitado (bounded) e ilimitado (unbounded) em , usando círculos. Em (a) queremos mostrar que “ser limitado” é equivalente a “estar contido num círculo centrado na origem”. Em (b) queremos traduzir a negação dessa afirmação para caracterizar conjuntos ilimitados. Em (c) vamos aplicar isso ao conjunto e mostrar que ele é ilimitado.
Passo 2
(a) “Se é limitado, então existe um círculo qualquer que o contenha por inteiro. ”
Por hipótese, para algum centro e raio . Seja . Então, para todo ,
Isto mostra que
ou seja, está contido num círculo de raio centrado na origem.
Passo 3
(a) “Se está contido num círculo centrado na origem, então é limitado.”
Isto é imediato: se existe tal que
então consiste de pontos interiores a um círculo (o próprio de centro na origem e raio ), logo é limitado.
Passo 4
(b) Por definição, “ é ilimitado” significa “ não é limitado”. Pela parte (a) isso equivale a dizer que não existe tal que
A negação desta inclusão é: para todo existe com . Em outras palavras, tem sempre pontos exteriores a qualquer círculo centrado na origem.
Passo 5
(c) Considere . Dado qualquer , basta escolher suficientemente negativo para que . Então
e quando |x| é grande. Portanto |(x,y)|>= |x|>R. Como isso vale para todo R, concluímos que A é ilimitado.
Resposta
(a) Vimos que se A está em algum círculo então está num de centro origem (e vice-versa).
(b) A é ilimitado iff para todo raio R há ponto de A com |P|>= R.
(c) O conjunto x^3+y^3=1 é ilimitado porque escolhemos xto-infty e obtemos |(x,y)|toinfty.