Um subconjunto B do plano é
  • simétrico em relação ao eixo O X se (x, y) in B Long<=ftrightarrow(x,-y) in B;
  • simétrico em relação ao eixo O Y se (x, y) in B Long<=ftrightarrow(-x, y) in B;
  • simétrico em relação à origem se (x, y) in B Long<=ftrightarrow(-x,-y) in B;
    (a) Mostre que o conjunto B=(x, y) in R^2 mid x^4+y^4=1 é simétrico em relação aos eixos O X e O Y e também em relação à origem.
    (b) O conjunto B é limitado?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
B=(x,y)inR^2mid x^4+y^4=1
e pede duas coisas:
1. Mostrar que B é simétrico em relação ao eixo OX, ao eixo OY e à origem, usando as definições dadas.
2. Verificar se B é limitado (isto é, se existe um raio R tal que B está contido no disco de raio R centrado na origem).
Conteúdo: simetrias no plano e noções básicas de conjuntos limitados.

Passo 2

Para a simetria em relação ao eixo OX, usamos que y^4 é uma função par de y. Se (x,y)inB então
x^4 + y^4 = 1
Mas então
x^4 + (-y)^4 = x^4 + y^4 = 1,
ou seja, (x,-y) também satisfaz a equação que define B. O mesmo raciocínio vale no sentido inverso, logo
(x,y)inBLong<=ftrightarrow (x,-y)inB,
isto é, B é simétrico em relação a OX.

Passo 3

Para a simetria em relação ao eixo OY, notamos que x^4 é função par de x. Se (x,y)inB então
x^4 + y^4 = 1 Longrightarrow (-x)^4 + y^4 = x^4 + y^4 = 1,
de modo que ( -x,y)inB. Assim
(x,y)inBLong<=ftrightarrow (-x,y)inB,
e B é simétrico em relação a OY.

Passo 4

Para a simetria em relação à origem, basta trocar simultaneamente xto -x e yto -y. Se (x,y)inB então
(-x)^4 + (-y)^4 = x^4 + y^4 = 1,
logo ( -x,-y)inB, e de modo análogo no sentido inverso. Portanto
(x,y)inBLong<=ftrightarrow (-x,-y)inB,
ou seja, B é simétrico em relação à origem.

Passo 5

Para ver que B é limitado, note que em qualquer (x,y)inB vale
x^4+y^4=1 Longrightarrow x^4<=1 e y^4<=1
Isso implica |x|<=1 e |y|<=1. Logo
Bsubseteq[-1,1]times[-1,1],
que é um conjunto limitado.

Resposta

(a) B é simétrico em relação a OX, a OY e à origem.
(b) Sim, B é limitado.

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