Um subconjunto
do plano é
- simétrico em relação ao eixo
se
;
- simétrico em relação ao eixo
se
;
- simétrico em relação à origem se
;
(a) Mostre que o conjunto
é simétrico em relação aos eixos
e
e também em relação à origem.
(b) O conjunto
é limitado?
(a) Mostre que o conjunto
(b) O conjunto
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede duas coisas:
. Mostrar que
é simétrico em relação ao eixo
, ao eixo
e à origem, usando as definições dadas.
. Verificar se
é limitado (isto é, se existe um raio
tal que
está contido no disco de raio
centrado na origem).
e pede duas coisas:
Conteúdo: simetrias no plano e noções básicas de conjuntos limitados.
Passo 2
Para a simetria em relação ao eixo
, usamos que
é uma função par de
. Se
então
Mas então
ou seja,
também satisfaz a equação que define
. O mesmo raciocínio vale no sentido inverso, logo
isto é,
é simétrico em relação a
.
Passo 3
Para a simetria em relação ao eixo
, notamos que
é função par de
. Se
então
de modo que
. Assim
e
é simétrico em relação a
.
Passo 4
Para a simetria em relação à origem, basta trocar simultaneamente
e
. Se
então
logo
, e de modo análogo no sentido inverso. Portanto
ou seja,
é simétrico em relação à origem.
Passo 5
Para ver que
é limitado, note que em qualquer
vale
Isso implica
e
. Logo
que é um conjunto limitado.
Resposta
(a)
é simétrico em relação a
, a
e à origem.
(b) Sim, é limitado.
(b) Sim,