Investigue a convergêng das integrais seguintes.
integral0^1 d x1-x^4

Passo 1

O enunciado pede investigar a convergência da integral imprópria
integral0^1 dx1 - x^4,
O conteúdo é integrais impróprias do tipo I com singularidade nos limites de integração, e vamos precisar analisar o comportamento do integrando próximo a x=1, onde o denominador se anula.

Passo 2

Verificamos que em x=0 o denominador 1 - x^4 = 1 é não nulo, logo o integrando é contínuo em um entorno de x=0. Assim, não há problema de convergência no limite inferior.

Passo 3

A análise crítica fica em xto1^-. Note que
1 - x^4 = (1 - x),(1 + x + x^2 + x^3),
Para x próximo de 1 temos 1 + x + x^2 + x^3to4, então
1 - x^4 approx 4,(1 - x),,
o que implica
11 - x^4 approx 14,(1 - x),

Passo 4

Considere a integral comparativa
integral0,9^1 dx4,(1 - x) ;=;14,integral0,9^1 dx1 - x,
Como integral0,9^1 dx1 - x = l[-ln(1 - x)r]0,9^1 = +infty, essa integral diverge. Pelo critério de comparação, a integral original também diverge.

Resposta

A integral integral0^1dx1 - x^4 diverge.

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