Um círculo de raio r e uma reta t estão no espaço, de modo que t é paralela a um diâmetro do círculo e este diâmetro e t determinam um plano perpendicular ao plano do círculo. Se a distância de t ao plano do círculo é d, calcule o volume do sólido de revolução obtido ao se girar o círculo em torno de \mathbf{t}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há um círculo de raio \,r\, contido num plano (chamemos de plano do círculo).
  • Existe uma reta t paralela a um diâmetro do círculo.
  • Esse diâmetro e a reta t determinam um plano que é perpendicular ao plano do círculo.
  • A distância da reta t ao plano do círculo é \,d\,.
    O que se pede:
  • Calcular o volume do sólido obtido ao girar o círculo inteiro em torno da reta t.

Passo 2

Para visualizar melhor, vamos colocar um sistema de coordenadas conveniente (só para entender a geometria): tomemos o plano do círculo como o plano xy e o centro do círculo na origem (0,0,0). Escolhemos o diâmetro paralelo ao eixo x. Pela hipótese, a reta t é paralela a esse diâmetro e está em um plano perpendicular ao plano do círculo; isso corresponde, por exemplo, à reta
t=\{(x,0,d)\mid x\in\mathbb{R}\},
isto é, uma reta paralela ao eixo x localizada no plano z=d e com y=0. Nessa configuração, a distância do centro do círculo (que está em z=0) até a reta t é exatamente \,d.

Passo 3

Vamos usar uma ideia que facilita muito: ao girar uma figura plana em torno de uma reta, cada pequeno elemento de área da figura descreve um pequeno “anel” (uma fita toroidal) cuja contribuição de volume é proporcional à distância desse elemento até o eixo. Somando (integrando) essas contribuições obtemos a fórmula conhecida como Teorema de Pappus (1.º teorema de Pappus) para volumes:
\text{Volume} = (\text{área da região}) \times (\text{comprimento do percurso descrito pelo centróide}).áãó
Explicando por que isso é verdade (esboço didático): seja A a área da região plana e considere um elemento de área infinitesimal dA situado a uma distância R do eixo. Ao girar, esse dA descreve um anel cujo comprimento médio é 2\pi R, e a espessura do anel é aproximadamente dA (no sentido de volume elemental), portanto a contribuição de volume é dV=(2\pi R)\,dA. Integrando sobre toda a região:
V=\int (2\pi R)\,dA = 2\pi \int R\,dA.
Por definição do centróide (distância média ponderada), \displaystyle \bar{R}=\frac{1}{A}\int R\,dA. Assim
V = 2\pi A\,\bar{R}.
Ou seja, o volume é a área A vezes a circunferência 2\pi\bar{R} percorrida pelo centróide.

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso caso:
  • A região plana é o círculo de raio \,r, então sua área é
A=\pi r^{2}.
  • O centróide (centro de massa geometricamente uniforme) de um círculo é o seu centro, que aqui está na origem. A distância desse centróide até a reta t é \bar{R}=d (como vimos no passo 2).
  • O centróide descreve, ao girar em torno de t, uma circunferência de comprimento
\text{percurso}=2\pi \bar{R}=2\pi d.

Passo 5

Substituindo na fórmula de Pappus:
V = A \times (2\pi d) = (\pi r^{2})\cdot(2\pi d).
Fazendo a multiplicação,
V = 2\pi^{2} r^{2} d.

Passo 6

Observações finais e checagem:
  • A fórmula obtida é a mesma da fórmula clássica do toro (torus) gerado ao rotacionar um círculo em torno de um eixo coplanar que não o corta: o raio maior R do toro corresponde aqui a d e o raio menor é r, dando V=2\pi^{2}R r^{2}.
  • Importante: o teorema de Pappus exige que o eixo não corte a região que está sendo girada. Aqui isso significa que \,d\neq0\, ou, mais precisamente, que a reta t não intersecte o disco; pelo enunciado ela está fora do plano do círculo a distância d, então está fora do disco. (Se alguém fizesse d=0 a reta cortaria o disco e a situação mudaria.)

Resposta

V=2\pi^{2}r^{2}d

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