Um círculo de raio r e uma reta t estão no espaço, de modo que t é paralela a um diâmetro do círculo e este diâmetro e t determinam um plano perpendicular ao plano do círculo. Se a distância de t ao plano do círculo é d, calcule o volume do sólido de revolução obtido ao se girar o círculo em torno de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há um círculo de raio
contido num plano (chamemos de plano do círculo). - Existe uma reta
paralela a um diâmetro do círculo. - Esse diâmetro e a reta
determinam um plano que é perpendicular ao plano do círculo. - A distância da reta
ao plano do círculo é .
O que se pede: - Calcular o volume do sólido obtido ao girar o círculo inteiro em torno da reta
.
Passo 2
Para visualizar melhor, vamos colocar um sistema de coordenadas conveniente (só para entender a geometria): tomemos o plano do círculo como o plano
e o centro do círculo na origem
. Escolhemos o diâmetro paralelo ao eixo
. Pela hipótese, a reta
é paralela a esse diâmetro e está em um plano perpendicular ao plano do círculo; isso corresponde, por exemplo, à reta
isto é, uma reta paralela ao eixo
localizada no plano
e com
. Nessa configuração, a distância do centro do círculo (que está em
) até a reta
é exatamente
.
Passo 3
Vamos usar uma ideia que facilita muito: ao girar uma figura plana em torno de uma reta, cada pequeno elemento de área da figura descreve um pequeno “anel” (uma fita toroidal) cuja contribuição de volume é proporcional à distância desse elemento até o eixo. Somando (integrando) essas contribuições obtemos a fórmula conhecida como Teorema de Pappus (1.º teorema de Pappus) para volumes:
Explicando por que isso é verdade (esboço didático): seja
a área da região plana e considere um elemento de área infinitesimal
situado a uma distância
do eixo. Ao girar, esse
descreve um anel cujo comprimento médio é
, e a espessura do anel é aproximadamente
(no sentido de volume elemental), portanto a contribuição de volume é
. Integrando sobre toda a região:
Por definição do centróide (distância média ponderada),
. Assim
Ou seja, o volume é a área
vezes a circunferência
percorrida pelo centróide.
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso caso:
- A região plana é o círculo de raio
, então sua área é
- O centróide (centro de massa geometricamente uniforme) de um círculo é o seu centro, que aqui está na origem. A distância desse centróide até a reta
é (como vimos no passo 2). - O centróide descreve, ao girar em torno de
, uma circunferência de comprimento
Passo 5
Substituindo na fórmula de Pappus:
Fazendo a multiplicação,
Passo 6
Observações finais e checagem:
- A fórmula obtida é a mesma da fórmula clássica do toro (torus) gerado ao rotacionar um círculo em torno de um eixo coplanar que não o corta: o raio maior
do toro corresponde aqui a e o raio menor é , dando . - Importante: o teorema de Pappus exige que o eixo não corte a região que está sendo girada. Aqui isso significa que
ou, mais precisamente, que a reta não intersecte o disco; pelo enunciado ela está fora do plano do círculo a distância , então está fora do disco. (Se alguém fizesse a reta cortaria o disco e a situação mudaria.)