O círculo unitário sem o ponto
(-1,0) tem uma parametrização dada por:
\mathbf{R}(t)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \frac{2 t}{1+t^{2}}\right), \quad t \in(-\infty,+\infty)
Use esta parametrização para calcular o comprimento do círculo unitário como uma integral imprópria. Dica: Simplifique a expressão para \left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\|.
Solução Calculamos o vetor velocidade, usando a regra do quociente para derivar x(t) e y(t)
\begin{aligned} \mathbf{R}^{\'}(t) & =\left(\frac{(-2 t)\left(1+t^{2}\right)-(2 t)\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}, \frac{2\left(1+t^{2}\right)-(2 t)(2 t)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\right) \\\ & =\frac{1}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\left(-4 t, 2-2 t^{2}\right)=\frac{2}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}\left(-2 t, 1-t^{2}\right) \end{aligned}
Então a rapidez é:
\begin{aligned} \left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\| & =\frac{2}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \sqrt{(-2 t)^{2}+\left(1-t^{2}\right)^{2}}=\frac{2}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \sqrt{t^{4}+2 t^{2}+1} \\\ & =\frac{2}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \sqrt{\left(t^{2}+1\right)^{2}}=\frac{2}{\left(1+t^{2}\right)} \end{aligned}
O comprimento do círculo unitário é s=\int_{-\infty}^{+\infty}\left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\| d t :
s=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2}{\left(1+t^{2}\right)} d t=\left.2 \tan ^{-1}(t)\right|_{-\infty} ^{+\infty}=2\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a parametrização do círculo unitário sem o ponto (-1,0):
\mathbf{R}(t)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\;\frac{2t}{1+t^{2}}\right),\quad t\in(-\infty,+\infty).
Pede para calcular o comprimento do círculo unitário usando essa parametrização como uma integral imprópria. Informações importantes fornecidas:
x(t)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\qquad y(t)=\frac{2t}{1+t^{2}},
e a fórmula do comprimento para uma curva parametrizada por \mathbf{R}(t) é
s=\int_{a}^{b}\left\|\mathbf{R}'(t)\right\|\,dt,
aqui com a=-\infty e b=+\infty. A dica indica simplificar \left\|\mathbf{R}'(t)\right\| antes de integrar.

Passo 2

Vamos calcular \mathbf{R}'(t)=(x'(t),y'(t)). Usamos a regra do quociente: se u(t)/v(t) então
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Para x(t)=\dfrac{1-t^{2}}{1+t^{2}} tomamos u=1-t^{2} e v=1+t^{2}. Assim u'=-2t e v'=2t. Aplicando a regra do quociente:
x'(t)=\frac{(-2t)(1+t^{2})-(1-t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^{2}}.
Agora simplificamos o numerador: expandindo,
(-2t)(1+t^{2})-(1-t^{2})(2t) = (-2t-2t^{3})-(2t-2t^{3}) = -4t.
Logo
x'(t)=\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 3

Para y(t)=\dfrac{2t}{1+t^{2}} tomamos u=2t e v=1+t^{2}. Então u'=2 e v'=2t. Pela regra do quociente:
y'(t)=\frac{2(1+t^{2})-(2t)(2t)}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{2+2t^{2}-4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{2-2t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}.
Podemos fatorar 2:
y'(t)=\frac{2(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}.
Portanto o vetor velocidade é
\mathbf{R}'(t)=\frac{2}{(1+t^{2})^{2}}\bigl(-2t,\;1-t^{2}\bigr).

Passo 4

Agora calculamos a rapidez \left\|\mathbf{R}'(t)\right\|=\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}. Substituindo as expressões:
\left\|\mathbf{R}'(t)\right\| =\sqrt{\left(\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{2-2t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}\right)^{2}} =\frac{2}{(1+t^{2})^{2}}\sqrt{(-2t)^{2}+(1-t^{2})^{2}}.
Dentro da raiz:
(-2t)^{2}+(1-t^{2})^{2}=4t^{2}+1-2t^{2}+t^{4}=t^{4}+2t^{2}+1=(1+t^{2})^{2}.
Portanto a raiz é \sqrt{(1+t^{2})^{2}}=1+t^{2} (aqui usamos que 1+t^{2}>0 para todo t, então não precisamos nos preocupar com sinais). Assim
\left\|\mathbf{R}'(t)\right\|=\frac{2}{(1+t^{2})^{2}}(1+t^{2})=\frac{2}{1+t^{2}}.

Passo 5

O comprimento é a integral imprópria
s=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2}{1+t^{2}}\,dt.
Esta integral é imprópria por causa dos limites infinitos; avaliamos como limite simétrico:
s=\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}\frac{2}{1+t^{2}}\,dt.
Sabemos que a primitiva de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan t, pois (\arctan t)'=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Portanto uma primitiva de \dfrac{2}{1+t^{2}} é 2\arctan t.

Passo 6

Avaliando a integral imprópria:
s=\lim_{A\to\infty} \left[2\arctan t\right]_{-A}^{A} =\lim_{A\to\infty} \bigl(2\arctan A - 2\arctan(-A)\bigr).
Como \lim_{A\to\infty}\arctan A=\dfrac{\pi}{2} e \lim_{A\to\infty}\arctan(-A)=-\dfrac{\pi}{2}, obtemos
s=2\!\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=2\pi.
Isso coincide com a circunferência conhecida do círculo de raio 1.

Resposta

2\pi

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