O Circuncentro é o ponto de encontro (interseção) entre as três mediatrizes. Uma mediatriz é uma reta que corta um segmento no seu ponto médio, com um ângulo de 90^circ.
Considere o triângulo de vértices A(1,1), B(4,4) e C(4,-2). Responda o que se pede:
b) Determine as coordenadas do Circuncentro (ponto D ), ou seja, o ponto de encontro das mediatrizes dos segmentos A B e A C.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o circuncentro do triângulo com vértices A(1,1), B(4,4) e C(4,-2), isto é, o ponto de interseção das mediatrizes dos lados AB e AC. Lembrando que a mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele.

Passo 2

Calcular a mediatriz de AB.
O ponto médio de AB é
MAB = l(tfrac1+42,,tfrac1+42r) = l(tfrac52,,tfrac52r)
A inclinação de AB é
mAB = 4-14-1 = 1,
logo a inclinação perpendicular é mperp = -1. A equação da mediatriz em forma ponto-inclinação é
y - 52 = -1l(x - 52r),
que simplifica para
y = -x + 5

Passo 3

Calcular a mediatriz de AC.
O ponto médio de AC é
MAC = l(tfrac1+42,,tfrac1+(-2)2r) = l(tfrac52,,-tfrac12r)
A inclinação de AC é
mAC = -2-14-1 = -1,
logo a inclinação perpendicular é mperp = 1. A equação da mediatriz é
y + 12 = 1l(x - 52r),
que dá
y = x - 3

Passo 4

Determinar a interseção das duas mediatrizes resolvendo o sistema
y = -x + 5, y = x - 3
Igualando as expressões para y:
-x + 5 = x - 3 Longrightarrow 2x = 8 Longrightarrow x = 4
Substituindo em y = x - 3 obtemos
y = 4 - 3 = 1

Resposta

As coordenadas do circuncentro são (4,1).

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