Seja o conjunto de todas as matrizes tais que o produto abcd=0. Seja a operação oplus a soma de matrizes padrão e odot a multiplicação de matrizes por escalar padrão. V é fechado em relação à multiplicação por escalar?
Passo 1
O enunciado define V como o conjunto de todas as matrizes
A = a & b [6pt] c & d
de ordem 2times 2 tais que
abcd = 0,
e usa a soma e a multiplicação por escalar padrão. Precisamos verificar se, ao pegar qualquer A in V e qualquer escalar lambda, a matriz lambda A também pertence a V.]
Passo 2
Seja Ain V. Então a b c d = 0. Considere lambda A; seus elementos são lambda a, lambda b, lambda c e lambda d. O produto desses quatro elementos é
(lambda a)(lambda b)(lambda c)(lambda d) = lambda^4,(a b c d) = lambda^4 cdot 0 = 0
Logo lambda A satisfaz o mesmo critério abcd=0 e, portanto, lambda Ain V.
Resposta
Sim, V é fechado em relação à multiplicação por escalar.