Seja V o conjunto de todas as matrizes A2 times 2=[lla & b c & d] tais que o produto abcd=0. Seja a operação oplus a soma de matrizes padrão e odot a multiplicação de matrizes por escalar padrão.
V é fechado em relação à soma?

Passo 1

O enunciado define V como o conjunto de matrizes 2times2 cujos elementos a,b,c,d satisfazem ,abcd=0. Pergunta se V é fechado sob soma padrão, ou seja, se A,Bin V implica A+Bin V.

Passo 2

Fechado sob soma significa que, ao somar quaisquer duas matrizes de V, a matriz resultante também deve ter produto dos quatro elementos igual a zero. Para mostrar que não é fechado, basta encontrar um contraexemplo.

Passo 3

Considere
A = 1 & 0 0 & 1, B = 0 & 1 1 & 0
Em A e em B vale
1cdot0cdot0cdot1 = 0, 0cdot1cdot1cdot0 = 0,
logo A,Bin V. Mas
A+B = 1 & 1 1 & 1,
e
1cdot1cdot1cdot1 = 1 neq 0,
portanto A+Bnotin V.

Resposta

Não, V não é fechado em relação à soma.

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