Numa circunferência C de centro O e raio R, traçam-se duas cordas paralelas ell1 e ell2 em lados opostos de um diâmetro de C. Em seguida, constrói-se um trapézio isósceles de bases ell1 e ell2. Determine a distância de O às cordas ell1 e ell2, para que a área do trapézio seja máxima.

Passo 1

O enunciado trata de um círculo de centro O e raio R. Sobre ele traçam-se duas cordas paralelas ell1 e ell2, uma de cada lado de O, e formam-se os vértices de um trapézio inscrito (que, por ser cíclico com bases paralelas, é automaticamente isósceles). Queremos escolher as distâncias de O a ell1 e a ell2 de modo que a área do trapézio seja máxima.

Passo 2

Denotemos por x a distância de O até ell1 e por y a distância de O até ell2, com x>0, y>0 e x+y<=2R. Cada corda tem comprimento
b1=2raizR^2-x^2, b2=2raizR^2-y^2

Passo 3

A área de um trapézio de bases b1,b2 e altura h=x+y é
A(x,y)=b1+b22,(x+y) =l(raizR^2-x^2+raizR^2-y^2r),(x+y)

Passo 4

A função A(x,y) é simétrica em x e y. Pelo princípio de simetria, o máximo ocorre quando
x=y

Passo 5

Substituindo x=y=d, obtemos
A(d,d)=l(2raizR^2-d^2r)cdot2d =4draizR^2-d^2
Para maximizar g(d)=draizR^2-d^2 fazemos
g'(d) =raizR^2-d^2-d^2raizR^2-d^2 =R^2-2d^2raizR^2-d^2
e igualamos a zero, obtendo R^2-2d^2=0, isto é
d=Rraiz2

Resposta

As distâncias de O às duas cordas devem ser ambas iguais a
Rraiz2

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