Numa circunferência
de centro
e raio
, traçam-se duas cordas paralelas
e
em lados opostos de um diâmetro de
. Em seguida, constrói-se um trapézio isósceles de bases
e
. Determine a distância de O às cordas
e
, para que a área do trapézio seja máxima.
Passo 1
O enunciado trata de um círculo de centro
e raio
. Sobre ele traçam-se duas cordas paralelas
e
, uma de cada lado de
, e formam-se os vértices de um trapézio inscrito (que, por ser cíclico com bases paralelas, é automaticamente isósceles). Queremos escolher as distâncias de
a
e a
de modo que a área do trapézio seja máxima.
Passo 2
Denotemos por
a distância de
até
e por
a distância de
até
, com
,
e
. Cada corda tem comprimento
Passo 3
A área de um trapézio de bases
e altura
é
Passo 4
A função
é simétrica em
e
. Pelo princípio de simetria, o máximo ocorre quando
Passo 5
Substituindo
, obtemos
Para maximizar
fazemos
e igualamos a zero, obtendo
, isto é
Resposta
As distâncias de
às duas cordas devem ser ambas iguais a