1. sumn=1^infty 2^n+1n 3^n-1

Passo 1

O enunciado pede calcular a série infinita
sumn=1^infty 2^n+1n,3^n-1
O conteúdo principal envolve séries de potências e a série de Taylor de -ln(1-x).

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral:
2^n+1n,3^n-1 = 2^n+1n,13^n-1 = 2^n+1n,33^n = 3cdot 2^n+1n,3^n = 6cdot 2^nn,3^n = 6,l(tfrac23r)^nn

Passo 3

Substituindo na soma original, temos
S = sumn=1^infty 2^n+1n,3^n-1 = 6 sumn=1^infty l(tfrac23r)^nn

Passo 4

Reconhecemos a série de Maclaurin
sumn=1^infty x^nn = -ln(1-x), |x|<1
Com x=tfrac23, obtemos
sumn=1^infty l(tfrac23r)^nn = -ln!l(1-tfrac23r) = -ln!l(tfrac13r) = ln 3

Passo 5

Multiplicando por 6, concluímos que
S = 6 ln 3

Resposta

6 ln 3

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