(1) t^2 d^2 yd t^2+t d yd t+2 y=sen t

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial de Cauchy–Euler (ou equação de Euler) dada por
t^2,y'' + t,y' + 2y = sen t
Portanto, vamos usar a teoria de equações de Euler para encontrar a solução geral homogênea e depois o método de variação de parâmetros para achar uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, assumimos uma solução do tipo yh = t^r. Substituindo em
t^2,y'' + t,y' + 2y = 0
vem o polinômio característico
r(r-1) + r + 2 = r^2 + 2 = 0 cuja raízes são r = pm iraiz2. Assim, escrevemos a solução homogênea em termos de funções reais: yh(t) = C1cosl(raiz2ln tr) + C2sinl(raiz2ln tr)

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, primeiro colocamos a equação na forma padrão
y'' + 1ty' + 2t^2y = sen tt^2
Aqui p(t)=1/t, q(t)=2/t^2 e g(t)=sen t/t^2.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas y1=cos(raiz2ln t) e y2=sin(raiz2ln t):
W = y1y2' - y1'y2 = raiz2t
Então, pelas fórmulas de variação de parâmetros, obtemos
u1' = -y2,gW, nu2' = y1,gW
Substituindo g/W = sen t/(raiz2,t), ficamos com
nu1' = -1raiz2sin(raiz2ln t),sen tt, nu2' = 1raiz2cos(raiz2ln t),sen tt

Passo 5

Integramos para achar nu1 e nu2 (ficam em forma de integrals não elementares) e montamos a particular:
yp = nu1(t),y1(t) + nu2(t),y2(t)
Logo a solução geral é soma de yh com yp.

Resposta

A solução geral é dada por:
y(t) = C1cosl(raiz2ln tr) + C2sinl(raiz2ln tr) -1raiz2cosl(raiz2ln tr)integral sin(raiz2ln t),sen tt,dt +1raiz2sinl(raiz2ln tr)integral cos(raiz2ln t),sen tt,dt

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