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Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial de Cauchy–Euler (ou equação de Euler) dada por
Portanto, vamos usar a teoria de equações de Euler para encontrar a solução geral homogênea e depois o método de variação de parâmetros para achar uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo em
vem o polinômio característico
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros, primeiro colocamos a equação na forma padrão
Aqui
,
e
.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas
e
:
Então, pelas fórmulas de variação de parâmetros, obtemos
Substituindo
, ficamos com
Passo 5
Integramos para achar
e
(ficam em forma de integrals não elementares) e montamos a particular:
Logo a solução geral é soma de
com
.
Resposta
A solução geral é dada por: