Use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
L^-1(s+2)^2s^3

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
(s+2)^2s^3
Para resolver isso usamos álgebra elementar (expansão e separação em frações simples) e o Teorema 7.2.1, que diz que
Lt^n=n!s^n+1
além da linearidade da transformada.

Passo 2

Primeiro expandimos o numerador para separar em termos de potências de s:
(s+2)^2s^3 =s^2+4s+4s^3

Passo 3

Agora dividimos cada termo por s^3:
s^2+4s+4s^3 =s^2s^3+4ss^3+4s^3 =1s+4s^2+4s^3

Passo 4

Aplicamos a transformada inversa termo a termo usando
L^-11/s=1,
L^-11/s^2=t e
L^-11/s^3=t^2/2.
Pelas constantes, temos
L^-1l1sr=1, L^-1l4s^2r=4t, L^-1l4s^3r=4cdott^22=2t^2

Resposta

L^-1l(s+2)^2s^3r =1+4t+2t^2

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