1.4 A circunferência
tem equação
. Encontre a circunferência
concêntrica a
de tal modo que exista um triângulo inscrito em
e que
seja inscrita no triângulo.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e o que vamos precisar: temos a circunferência C₁ de equação x² + y² − 6x − 8y = 0. Queremos achar outra circunferência C₂, com o mesmo centro de C₁, tal que exista um triângulo inscrito em C₁ cujo círculo inscrito seja exatamente C₂. Para resolver, vamos usar completamento de quadrados para achar centro e raio de C₁, e depois estudar qual triângulo inscrito em uma circunferência de raio R terá incenter coincidindo com o circumcenter (para garantir a concêntrica) e qual será o raio do incircle.
Passo 2
Primeiro, completamos quadrados para identificar centro O e raio R de C₁. A equação é
Podemos reescrever como
ou seja,
Logo, o centro é O=(3,4) e o raio é R=5.
Passo 3
Para que o incircle de um triângulo inscrito em C₁ seja concêntrico com C₁, o incenter do triângulo deve coincidir com o circumcenter, que é O. Sabe-se que isso só acontece em um triângulo equilátero, pois nele incenter = circumcenter.
Passo 4
Em um triângulo equilátero de raio de circunferência circunscrita R, a relação com o raio r do círculo inscrito é
Passo 5
Como aqui R=5, temos r=5/2=2,5. Assim, a circunferência C₂ tem centro em (3,4) e raio 2,5.
Passo 6
Portanto, a equação de C₂ é
Resposta
(x-3){2}+(y-4){2}=6,25