1.4 A circunferência C1 tem equação x^2+y^2-6 x-8 y=0. Encontre a circunferência C2 concêntrica a C1 de tal modo que exista um triângulo inscrito em C1 e que C2 seja inscrita no triângulo.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e o que vamos precisar: temos a circunferência C₁ de equação x² + y² − 6x − 8y = 0. Queremos achar outra circunferência C₂, com o mesmo centro de C₁, tal que exista um triângulo inscrito em C₁ cujo círculo inscrito seja exatamente C₂. Para resolver, vamos usar completamento de quadrados para achar centro e raio de C₁, e depois estudar qual triângulo inscrito em uma circunferência de raio R terá incenter coincidindo com o circumcenter (para garantir a concêntrica) e qual será o raio do incircle.

Passo 2

Primeiro, completamos quadrados para identificar centro O e raio R de C₁. A equação é
x^2+y^2-6x-8y=0
Podemos reescrever como
(x-3)^2-9+(y-4)^2-16=0
ou seja,
(x-3)^2+(y-4)^2=25
Logo, o centro é O=(3,4) e o raio é R=5.

Passo 3

Para que o incircle de um triângulo inscrito em C₁ seja concêntrico com C₁, o incenter do triângulo deve coincidir com o circumcenter, que é O. Sabe-se que isso só acontece em um triângulo equilátero, pois nele incenter = circumcenter.

Passo 4

Em um triângulo equilátero de raio de circunferência circunscrita R, a relação com o raio r do círculo inscrito é
r=R2

Passo 5

Como aqui R=5, temos r=5/2=2,5. Assim, a circunferência C₂ tem centro em (3,4) e raio 2,5.

Passo 6

Portanto, a equação de C₂ é
(x-3)^2+(y-4)^2=l(tfrac52r)^2=6,25

Resposta

(x-3){2}+(y-4){2}=6,25

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