Sejam r, theta, z coordenadas cilíndricas usuais. Ondas eletromagnéticas tranversas (ou seja, que não possuem componente k ) em um guia de onda possuem campo elétrico E=E(r, theta) e^i(k z-omega t) e indução magnética B=B(r, theta) e^i(k z-omega t). Ambos os campos satisfazem a equação de Laplace, isto é
nabla^2 E(r, theta)=0=nabla^2 B(r, theta)
Mostre que:
(a) E=r E0 ar e^i(k z-omega t) e B=theta E0 ar e^i(k z-omega t) são soluções da equação de Laplace. Aqui a é o raio do condutor e E0 e B0 são amplitudes constantes;
(b) As equações de Maxwell são satisfeitas se o interior do guia de onda é um ambiente de vácuo e
B0E0=komega=mu0 epsilon0(omegak)=1c

Passo 1

Temos um guia de onda cilíndrico onde os campos elétrico e magnético são transversos e dependem de r,theta multiplicados por e^i(kz-omega t). O enunciado pede que mostremos que (a) as ansatz
E=rE0are^i(kz-omega t), B=thetaB0are^i(kz-omega t)
satisfazem a equação vetorial de Laplace em coordenadas cilíndricas, e (b) que as equações de Maxwell em vácuo levam à relação entre amplitudes B0/E0. Precisamos usar o laplaciano vetorial em coordenadas cilíndricas e as leis de Faraday e Ampère-Maxwell.

Passo 2

Para verificar (a) lembramos que o laplaciano vetorial em coordenadas cilíndricas para um campo A=hat rAr+hattheta Atheta+hat zAz
(nabla^2A)r=nabla^2 Ar-Arr^2-2r^2partial Athetapartialtheta,
(nabla^2A)theta=nabla^2 Atheta-Athetar^2+2r^2partial Arpartialtheta,
enquanto as demais componentes são triviais aqui. No nosso caso Ar=E0a/r, Atheta=0, ou Br=0, Btheta=B0a/r, sem dependência em theta. Calculando
nabla^2ar=1rddrl(rddrarr)=ar^3,
e subtraindo o termo Ar/r^2 (ou Atheta/r^2) cancela exatamente esse resultado, dando zero. Assim nabla^2E=0=nabla^2B.

Passo 3

Agora fazemos a lei de Faraday nablatimesE=-partialB/partial t. Em cilíndricas só sobra a componente theta:
(nablatimesE)theta=partial Erpartial z=i kE0are^i(kz-omega t),
-partial Bthetapartial t=iomega B0are^i(kz-omega t)
Igualando essas duas expressões vem
i kE0=iomega B0 Rightarrow B0E0=komega

Passo 4

Em seguida usamos a lei de Ampère-Maxwell nablatimesB=mu0epsilon0partialE/partial t. A única componente não nula é a radial:
(nablatimesB)r=-partial Bthetapartial z=-i kB0are^i(kz-omega t),
mu0epsilon0partial Erpartial t=-iomegamu0epsilon0E0are^i(kz-omega t)
Igualando obtém-se
kB0=omegamu0epsilon0E0 Rightarrow B0E0=mu0epsilon0omegak

Passo 5

Para consistência das duas expressões de B0/E0 em vácuo impomos a relação de dispersão k^2=mu0epsilon0,omega^2. Isso garante
komega=mu0epsilon0omegak= rac1c,
o que conclui o item (b).

Resposta

As soluções do item (a) satisfazem nabla^2E=nabla^2B=0. No item (b) obtemos
B0E0=komega=mu0epsilon0omegak=1c

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