Sejam
coordenadas cilíndricas usuais. Ondas eletromagnéticas tranversas (ou seja, que não possuem componente
) em um guia de onda possuem campo elétrico
e indução magnética
. Ambos os campos satisfazem a equação de Laplace, isto é
Mostre que:
(a)
e
são soluções da equação de Laplace. Aqui
é o raio do condutor e
e
são amplitudes constantes;
(b) As equações de Maxwell são satisfeitas se o interior do guia de onda é um ambiente de vácuo e
(a)
(b) As equações de Maxwell são satisfeitas se o interior do guia de onda é um ambiente de vácuo e
Passo 1
Temos um guia de onda cilíndrico onde os campos elétrico e magnético são transversos e dependem de
multiplicados por
. O enunciado pede que mostremos que (a) as ansatz
satisfazem a equação vetorial de Laplace em coordenadas cilíndricas, e (b) que as equações de Maxwell em vácuo levam à relação entre amplitudes
Passo 2
Para verificar (a) lembramos que o laplaciano vetorial em coordenadas cilíndricas para um campo
dá
enquanto as demais componentes são triviais aqui. No nosso caso
,
, ou
,
, sem dependência em
. Calculando
e subtraindo o termo
Passo 3
Agora fazemos a lei de Faraday
. Em cilíndricas só sobra a componente
:
Igualando essas duas expressões vem
Passo 4
Em seguida usamos a lei de Ampère-Maxwell
. A única componente não nula é a radial:
Igualando obtém-se
Passo 5
Para consistência das duas expressões de
em vácuo impomos a relação de dispersão
. Isso garante
o que conclui o item (b).
Resposta
As soluções do item (a) satisfazem
. No item (b) obtemos