O enunciado pede para mostrar que o operador de rotação em torno do eixo z, dado por , equivale em coordenadas esféricas ao operador . O conteúdo envolvido é cálculo vetorial (regra da cadeia) em coordenadas esféricas. Vamos usar as expressões de x,y em função de (r, φ, θ) e escrever ∂/∂x e ∂/∂y via regra da cadeia.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
Pela regra da cadeia temos
Calculando cada derivada parcial:
Logo:
Passo 3
De modo análogo, escrevemos :
Portanto:
Passo 4
Agora montamos o operador interno:
Ao substituir as expressões de e , vemos que os termos em e se anulam, restando apenas o termo em :