Mostre que
-i(x partialpartial y-y partialpartial x)=-i partialpartial theta
em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o operador de rotação em torno do eixo z, dado por -i(xpartialy - ypartialx), equivale em coordenadas esféricas ao operador -i,partialtheta. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial (regra da cadeia) em coordenadas esféricas. Vamos usar as expressões de x,y em função de (r, φ, θ) e escrever ∂/∂x e ∂/∂y via regra da cadeia.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinvarphi,costheta, y = rsinvarphi,sintheta, z = rcosvarphi
Pela regra da cadeia temos
partialpartial x = partial rpartial xpartialpartial r + partial varphipartial xpartialpartial varphi + partial thetapartial xpartialpartial theta
Calculando cada derivada parcial:
partial rpartial x=xr=sinvarphicostheta, partial varphipartial x=cosvarphicosthetar, partial thetapartial x=-sinthetarsinvarphi
Logo:
partialpartial x = sinvarphicostheta,partialpartial r + cosvarphicosthetar,partialpartial varphi - sinthetarsinvarphi,partialpartial theta

Passo 3

De modo análogo, escrevemos partial/partial y:
partial rpartial y=sinvarphisintheta, partial varphipartial y=cosvarphisinthetar, partial thetapartial y=costhetarsinvarphi
Portanto:
partialpartial y = sinvarphisintheta,partialpartial r + cosvarphisinthetar,partialpartial varphi + costhetarsinvarphi,partialpartial theta

Passo 4

Agora montamos o operador interno:
xpartialpartial y-ypartialpartial x = rsinvarphicosthetal(cdotsr)-rsinvarphisinthetal(cdotsr)
Ao substituir as expressões de partial/partial x e partial/partial y, vemos que os termos em partial/partial r) e partial/partial varphi) se anulam, restando apenas o termo em partial/partial theta):
xpartialy - ypartialx = l(cos^2theta + sin^2thetar)partialpartial theta = partialpartial theta

Passo 5

Multiplicando por -i) concluímos que
-il(xpartialy - ypartialxr) = -i,partialpartial theta,
como queríamos mostrar.

Resposta

-i\frac{\partial}{\partial \theta}

Exercícios relacionados