Questão 3. (3,5 pontos)
Seja o campo vetorial
, dado por
. Determine o fluxo deste campo através da circunferência de raio 2 centrada na origem das seguintes formas: (a) fazendo a integral de fluxo
(2,0 pontos) e (b) utilizando o teorema da divergência no plano ( 1,5 pontos).
Solução.
(a)
Podemos parametrizar a curva dada da seguinte maneira:
com
. O vetor tangente à curva é dado por:
seu módulo é 2 , então
. O vetor normal à curva é dado pelo produto vetorial:
Também precisamos do diferencial de linha:
e da expressão do campo vetorial em função da parametrização da curva:
O produto escalar da integral de fluxo é dado por:
Finalmente, podemos expressar a integral de fluxo
O cálculo das primitivas indica:
e
então
(b)
O teorema da divergência estabelece que
onde
é a região encerrada pela curva
. O divergente em questão é dado por:
e a região
é um círculo de raio 2 centrado na origem. Então, temos a seguinte integral de área:
que foi expressa em coordenadas polares. Resolvendo a integral temos:
que é exatamente o resultado obtido pela integral de fluxo.
(a)
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
através da circunferência de raio 2 centrada na origem, usando (a) a integral direta de fluxo
e (b) o teorema da divergência. Vamos parametrizar a curva, achar o vetor normal unitário e
, depois calcular a divergência e integrar na região interna.
Passo 2
Para o método direto, parametrizamos a circunferência por
de onde
O vetor normal unitário voltado para fora é dado por roteação de
em 90°, resultando em
Passo 3
O elemento de comprimento de arco é
. Avaliando o campo na curva:
Passo 4
O produto escalar no integrando fica
Logo a integral de fluxo é
Passo 5
Para avaliar, usamos as identidades
Assim
Passo 6
Pelo teorema da divergência temos
onde
Em coordenadas polares
a integral fica
Passo 7
Calculando primeiro em
:
Integrando em
:
confirmando o mesmo resultado obtido na integral de fluxo.