Questão 3. (3,5 pontos)

Seja o campo vetorial F: R^2 R^2, dado por F=x^2 i+y j. Determine o fluxo deste campo através da circunferência de raio 2 centrada na origem das seguintes formas: (a) fazendo a integral de fluxo ointC F cdot n d s (2,0 pontos) e (b) utilizando o teorema da divergência no plano ( 1,5 pontos).
Solução.
(a)
Podemos parametrizar a curva dada da seguinte maneira:
r=2 cos (t) i+2 sen(t) j
com 2 pi >= t >= 0. O vetor tangente à curva é dado por:
T=d rd t=-2 sen(t) i+2 cos (t) j
seu módulo é 2 , então T=sen(t) i+cos (t) j. O vetor normal à curva é dado pelo produto vetorial:
n=T times k n=cos (t) i+sen(t) j
Também precisamos do diferencial de linha:
d s=|T| d t=2 d t
e da expressão do campo vetorial em função da parametrização da curva:
F & =(2 cos (t))^2 i+2 sen(t) j F & =4 cos ^2(t) i+2 sen(t) j
O produto escalar da integral de fluxo é dado por:
F cdot n=4 cos ^3(t)+2 sen^2(t)
Finalmente, podemos expressar a integral de fluxo
Phi=ointC F cdot n d s=integral0^2 pi[4 cos ^3(t)+2 sen^2(t)] 2 d t
O cálculo das primitivas indica:
integral cos ^3(t) d t=integral(1-sen^2(t)) cos (t) d t=sen(t)-sen^3(t)3
e
integral sen^2(t) d t=integral[12-cos (2 t)2] d t=t2-sen(2 t)4
então
Phi=8[sen(t)-sen^3(t)3]0^2 pi+4[t2-sen(2 t)4]0^2 pi
Phi=4 pi
(b)
O teorema da divergência estabelece que
ointC F cdot n d s=integral duplaR nabla cdot F d A
onde R é a região encerrada pela curva C. O divergente em questão é dado por:
nabla cdot F=(i partialpartial x+j partialpartial y) cdot(x^2 i+y j)=2 x+1
e a região R é um círculo de raio 2 centrado na origem. Então, temos a seguinte integral de área:
integral duplaR nabla cdot F d A=integral duplaR(2 x+1) d A=integral0^2 pi d theta integral0^2 d r r(2 r cos (theta)+1)
que foi expressa em coordenadas polares. Resolvendo a integral temos:
integral0^2 pi d theta integral0^2 d r r(2 r cos (theta)+1)=integral0^2 pi d theta[2 r^3 cos (theta)3+r^22]0^2 integral0^2 pi d theta[16 cos (theta)3+2]=[16 sen(theta)3+2 theta]0^2 pi=4 pi
que é exatamente o resultado obtido pela integral de fluxo.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial vec F(x,y)=x^2,hat i+y,hat j através da circunferência de raio 2 centrada na origem, usando (a) a integral direta de fluxo ointCvec Fcdothat n,ds e (b) o teorema da divergência. Vamos parametrizar a curva, achar o vetor normal unitário e ds, depois calcular a divergência e integrar na região interna.

Passo 2

Para o método direto, parametrizamos a circunferência por
vec r(t)=2cos t,hat i+2sin t,hat j, 0<= t<=2pi,
de onde
vec r,'(t)=-2sin t,hat i+2cos t,hat j, |vec r,'(t)|=2
O vetor normal unitário voltado para fora é dado por roteação de vec r,'(t) em 90°, resultando em
hat n(t)=cos t,hat i+sin t,hat j

Passo 3

O elemento de comprimento de arco é ds=|vec r,'(t)|,dt=2,dt. Avaliando o campo na curva:
vec F(vec r(t))=l(2cos tr)^2,hat i+2sin t,hat j=4cos^2t,hat i+2sin t,hat j

Passo 4

O produto escalar no integrando fica
vec Fcdothat n=4cos^2tcos t+2sin tsin t=4cos^3t+2sin^2t
Logo a integral de fluxo é
Phi=integral0^2pil(4cos^3t+2sin^2tr),2,dt=integral0^2pil(8cos^3t+4sin^2tr),dt

Passo 5

Para avaliar, usamos as identidades
integral0^2picos^3t,dt=0, integral0^2pisin^2t,dt=pi
Assim
Phi=8cdot0+4cdotpi=4pi

Passo 6

Pelo teorema da divergência temos
Phi=integral duplaR(nablacdotvec F),dA,
onde
nablacdotvec F=partialpartial x(x^2)+partialpartial y(y)=2x+1
Em coordenadas polares (x=rcostheta) a integral fica
integral duplaR(2x+1),dA=integral0^2piintegral0^2rl(2rcostheta+1r),dr,dtheta

Passo 7

Calculando primeiro em r:
integral0^2r(2rcostheta+1),dr=l[tfrac23r^3costheta+tfrac12r^2r]0^2=tfrac163costheta+2
Integrando em theta:
integral0^2pil(tfrac163costheta+2r),dtheta=0+4pi=4pi,
confirmando o mesmo resultado obtido na integral de fluxo.

Resposta

4pi

Exercícios relacionados