Uma corda da circunferência x^2+y^2=25 está sobre a reta cuja equação é x-7 y+25-0. Encontrar o comprimento da corda.

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência de centro em (0,0) e raio 5, definida por
x^2+y^2=25,
e uma reta que intercepta essa circunferência, com equação
x - 7y + 25 = 0
Queremos o comprimento da corda determinada por essa interseção. Para isso, vamos usar o fato de que, se d é a distância do centro da circunferência até a reta e r é o raio, então o comprimento da corda é
ell = 2raizr^2-d^2

Passo 2

Calculamos a distância d do ponto (0,0) à reta x - 7y + 25 = 0 usando a fórmula
d = l|Ax0 + By0 + Cr|raizA^2+B^2,
onde A=1, B=-7, C=25, e (x0,y0)=(0,0). Assim,
d = l|1cdot 0 + (-7)cdot 0 + 25r|raiz1^2+(-7)^2 = 25raiz1+49 = 25raiz50 = 255raiz2 = 5raiz2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da corda com r=5 e d=5/raiz2:
ell = 2raiz5^2 - l(5raiz2r)^2 = 2raiz25 - 252 = 2raiz252 = 2cdot 5raiz2 = 10raiz2 = 5raiz2

Resposta

O comprimento da corda é 5raiz2.

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