Determinar a equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da circunferência circunscrita ao triângulo com os vértices
,
e
. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de circunferência e triângulos. Vamos precisar saber como encontrar o centro e o raio da circunferência que passa pelos três pontos dados.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as mediatrizes dos lados do triângulo, que são as retas perpendiculares aos lados e que passam pelos seus pontos médios. O ponto de interseção dessas mediatrizes será o centro da circunferência circunscrita.
Passo 3
Vamos calcular o ponto médio dos lados
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as inclinações dos lados
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
As mediatrizes serão perpendiculares a esses lados, então suas inclinações são as negativas inversas:
Para
, a mediatriz terá:
Para
, a mediatriz terá:
Passo 6
Agora, escrevemos as equações das mediatrizes usando o formato da equação da reta
, onde
é o ponto médio:
Para a mediatriz de
passando por
:
Para a mediatriz de
passando por
:
Passo 7
Agora, encontramos o ponto de interseção dessas duas mediatrizes resolvendo o sistema de equações:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituímos
em
:
Então, o centro da circunferência é
.
Passo 8
Para encontrar o raio, calculamos a distância entre o centro
e um dos pontos do triângulo, por exemplo,
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando:
Resposta
A equação da circunferência circunscrita ao triângulo é:
Simplificando o raio: