Determinar a equação da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices P1=(-1,1), P2=(3,5) e P3=(5,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da circunferência circunscrita ao triângulo com os vértices P1=(-1,1) , P2=(3,5) e P3=(5,-3) . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de circunferência e triângulos. Vamos precisar saber como encontrar o centro e o raio da circunferência que passa pelos três pontos dados.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as mediatrizes dos lados do triângulo, que são as retas perpendiculares aos lados e que passam pelos seus pontos médios. O ponto de interseção dessas mediatrizes será o centro da circunferência circunscrita.

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio dos lados P1P2 e P1P3 :
Para P1P2 :
M12 = ( -1 + 32, 1 + 52 ) = (1, 3)
Para P1P3 :
M13 = ( -1 + 52, 1 + (-3)2 ) = (2, -1)

Passo 4

Agora, vamos encontrar as inclinações dos lados P1P2 e P1P3 :
Para P1P2 :
m12 = 5 - 13 - (-1) = 44 = 1
Para P1P3 :
m13 = -3 - 15 - (-1) = -46 = -23

Passo 5

As mediatrizes serão perpendiculares a esses lados, então suas inclinações são as negativas inversas:
Para m12 = 1 , a mediatriz terá:
mmediatriz12 = -11 = -1
Para m13 = -23 , a mediatriz terá:
mmediatriz13 = -1-23 = 32

Passo 6

Agora, escrevemos as equações das mediatrizes usando o formato da equação da reta y - y0 = m(x - x0) , onde (x0, y0) é o ponto médio:
Para a mediatriz de P1P2 passando por M12 = (1, 3) :
y - 3 = -1(x - 1)
y = -x + 4
Para a mediatriz de P1P3 passando por M13 = (2, -1) :
y - (-1) = 32(x - 2)
y + 1 = 32x - 3
y = 32x - 4

Passo 7

Agora, encontramos o ponto de interseção dessas duas mediatrizes resolvendo o sistema de equações:
y = -x + 4 y = 32x - 4
Substituindo y = -x + 4 na segunda equação:
-x + 4 = 32x - 4
4 + 4 = 32x + x
8 = 52x
x = 165
Agora, substituímos x = 165 em y = -x + 4 :
y = -165 + 4 = -165 + 205 = 45
Então, o centro da circunferência é C = ( 165, 45 ) .

Passo 8

Para encontrar o raio, calculamos a distância entre o centro C e um dos pontos do triângulo, por exemplo, P1 = (-1, 1) . A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Aplicando:
r = raiz( 165 - (-1) )^2 + ( 45 - 1 )^2 = raiz( 215 )^2 + ( -15 )^2 = raiz44125 + 125 = raiz44225 = raiz4425

Resposta

A equação da circunferência circunscrita ao triângulo é:
( x - 165 )^2 + ( y - 45 )^2 = ( raiz4425 )^2
Simplificando o raio:
( x - 165 )^2 + ( y - 45 )^2 = 44225

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