Uma circunferência tem centro no ponto C=(3,4) e raio R. A partir disso, determine as afirmativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
A reta de equação 4 y+3 x=0 intersecta a circunferência, qualquer que seja o valor atribuído a R.
Se a origem pertence à circunferência, então R=2 raiz2.
Quando R=2, a circunferência tangencia os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma circunferência com centro no ponto C = (3, 4) e raio R . Precisamos analisar três afirmativas para ver quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como distância entre pontos e retas, e propriedades das circunferências no plano cartesiano.

Passo 2

Vamos analisar a afirmativa A: “A reta de equação 4y + 3x = 0 intersecta a circunferência, qualquer que seja o valor atribuído a R .”
Primeiro, precisamos entender quando uma reta intersecta uma circunferência. Isso acontece quando a distância entre o centro da circunferência e a reta é menor ou igual ao raio R .
A equação da reta é 3x + 4y = 0 . Para calcular a distância d entre o centro C = (3, 4) e a reta 3x + 4y = 0 , usamos a fórmula:
d = |3(3) + 4(4)|raiz3^2 + 4^2 = |9 + 16|5 = 255 = 5
Então, a distância é 5 .
Para a reta intersectar a circunferência, precisamos que R >= 5 . A afirmativa diz que isso acontece para qualquer valor de R , mas se R < 5 , a reta não toca a circunferência. Portanto, a afirmativa A é falsa.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmativa B: “Se a origem pertence à circunferência, então R = 2raiz2 .”
Se a origem (0, 0) está na circunferência, significa que a distância entre o centro C = (3, 4) e a origem é igual ao raio R .
Calculando essa distância:
R = raiz(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
A afirmativa diz que R = 2raiz2 , mas na verdade R = 5 . Portanto, a afirmativa B é falsa.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a afirmativa C: “Quando R = 2 , a circunferência tangencia os eixos coordenados.”
Uma circunferência tangencia o eixo x se a distância do centro ao eixo x for igual ao raio R . Da mesma forma, tangencia o eixo y se a distância do centro ao eixo y for igual a R .
O centro é C = (3, 4) , então:
  • Distância até o eixo x (que é a coordenada y ): 4
  • Distância até o eixo y (que é a coordenada x ): 3
Para R = 2 :
  • 4 neq 2 e 3 neq 2
Portanto, a circunferência não tangencia nenhum dos eixos coordenados quando R = 2 . Logo, a afirmativa C é falsa.

Resposta

Nenhuma das afirmativas A, B ou C é verdadeira.

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