Uma circunferência tem centro no ponto
e raio
. A partir disso, determine as afirmativas verdadeiras:
Escolha uma ou mais:
A reta de equação
intersecta a circunferência, qualquer que seja o valor atribuído a
.
Se a origem pertence à circunferência, então
.
Quando
, a circunferência tangencia os eixos coordenados.
Escolha uma ou mais:
A reta de equação
Se a origem pertence à circunferência, então
Quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma circunferência com centro no ponto
e raio
. Precisamos analisar três afirmativas para ver quais são verdadeiras. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, como distância entre pontos e retas, e propriedades das circunferências no plano cartesiano.
Passo 2
Vamos analisar a afirmativa A: “A reta de equação
intersecta a circunferência, qualquer que seja o valor atribuído a
.”
Primeiro, precisamos entender quando uma reta intersecta uma circunferência. Isso acontece quando a distância entre o centro da circunferência e a reta é menor ou igual ao raio
.
A equação da reta é
. Para calcular a distância
entre o centro
e a reta
, usamos a fórmula:
Então, a distância é
.
Para a reta intersectar a circunferência, precisamos que
. A afirmativa diz que isso acontece para qualquer valor de
, mas se
, a reta não toca a circunferência. Portanto, a afirmativa A é falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmativa B: “Se a origem pertence à circunferência, então
.”
Se a origem
está na circunferência, significa que a distância entre o centro
e a origem é igual ao raio
.
Calculando essa distância:
A afirmativa diz que
, mas na verdade
. Portanto, a afirmativa B é falsa.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a afirmativa C: “Quando
, a circunferência tangencia os eixos coordenados.”
Uma circunferência tangencia o eixo
se a distância do centro ao eixo
for igual ao raio
. Da mesma forma, tangencia o eixo
se a distância do centro ao eixo
for igual a
.
O centro é
, então:
- Distância até o eixo
(que é a coordenada ): - Distância até o eixo
(que é a coordenada ):
Para
:
-
e
Portanto, a circunferência não tangencia nenhum dos eixos coordenados quando
. Logo, a afirmativa C é falsa.
Resposta
Nenhuma das afirmativas A, B ou C é verdadeira.