no ponto indicado:
Ache a equação a reta tangente a x^2+y^2=25 no ponto (-3,4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente à circunferência x^2 + y^2 = 25 no ponto (-3, 4). Vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre tangentes a circunferências. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a equação de uma reta tangente a um círculo em um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio r é x^2 + y^2 = r^2 . No nosso caso, r^2 = 25 , então o raio r = 5 .

Passo 3

A reta tangente a uma circunferência em um ponto específico é perpendicular ao raio que liga o centro da circunferência a esse ponto. Isso significa que a inclinação da reta tangente será o negativo do inverso da inclinação do raio.

Passo 4

Vamos encontrar a inclinação do raio que vai do centro (0,0) até o ponto (-3, 4). A inclinação mraio é dada por:
mraio = y2 - y1x2 - x1 = 4 - 0-3 - 0 = 4-3 = -43

Passo 5

Agora, a inclinação da reta tangente mtan>=nte será o negativo do inverso da inclinação do raio:
mtan>=nte = -1mraio = -1-43 = 34

Passo 6

Com a inclinação da reta tangente e sabendo que ela passa pelo ponto (-3, 4), podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo os valores:
y - 4 = 34(x - (-3))
y - 4 = 34(x + 3)

Passo 7

Vamos simplificar a equação para a forma geral:
y - 4 = 34x + 94
y = 34x + 94 + 4
y = 34x + 254

Resposta

A equação da reta tangente à circunferência x^2 + y^2 = 25 no ponto (-3, 4) é:
y = 34x + 254

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