Beleza, vamos lá! A gente tem um determinante dado e precisa calcular outro determinante que é uma variação desse primeiro. O conteúdo aqui é de determinantes de matrizes, e vamos precisar usar as propriedades de determinantes, como fatoração de constantes e operações com linhas da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o determinante que a gente já conhece:
det(ccc a & b & c p & q & r x & y & z ) = -1
Sabemos que o determinante dessa matriz é igual a -1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o segundo determinante que precisamos calcular:
det(ccc -2 a & -2 b & -2 c 2 p+x & 2 q+y & 2 r+z 3 x & 3 y & 3 z )
Vamos simplificar isso passo a passo usando as propriedades dos determinantes.
Passo 4
Primeiro, observe que a primeira linha da nova matriz é -2 vezes a primeira linha da matriz original. Uma propriedade dos determinantes diz que se a gente multiplica uma linha inteira por um número, o determinante é multiplicado por esse número. Então, multiplicando a primeira linha por -2:
det(A') = -2 times det(A)
Onde det(A) = -1 .
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda linha da nova matriz: 2p + x, 2q + y, 2r + z. Isso pode ser visto como a soma de duas vezes a segunda linha original com a terceira linha. Uma propriedade importante é que se a gente adicionar uma múltipla de uma linha a outra, o determinante não muda. Então, podemos escrever a segunda linha como:
2 times segunda linha original + terceira linha original
Isso não altera o determinante.
Passo 6
A terceira linha da nova matriz é 3 vezes a terceira linha original. Usando novamente a propriedade de que multiplicar uma linha por um número multiplica o determinante por esse número, temos:
det(A') = (-2) times 1 times 3 times det(A)
Onde multiplicamos por -2 pela primeira linha e por 3 pela terceira linha.