Identifique a cônica, determine seus vértices, focos, medida dos eixos, assíntotas no caso de hipérboles e reta diretriz no caso de parábola:
3x^2-y^2=3

Passo 1

O enunciado dá a cônica
3x^2-y^2=3
e pede que a identifiquemos (elipse, parábola ou hipérbole), que calculemos seus vértices, focos, as medidas dos eixos e, sendo hipérbole, as assíntotas.

Passo 2

Para chegar à forma canônica, dividimos a equação por 3:
3x^23-y^23=1 Longrightarrow x^2-y^23=1
que pode ser reescrita como
x^21-y^23=1

Passo 3

Reconhecemos que é uma hipérbole do tipo “horizontal” centrada na origem, com
a^2=1, b^2=3,
e como em toda hipérbole vale
c^2=a^2+b^2,
temos
c^2=1+3=4 Longrightarrow c=2

Passo 4

Os vértices são os pontos onde a hipérbole corta o eixo transverso ( x-axis), isto é
(pm a,,0)=(pm1,,0)
Os focos ficam em
(pm c,,0)=(pm2,,0)
A medida do eixo transverso é
2a=2cdot1=2,
e a medida do eixo conjugado (usado para construir o retângulo guia das assíntotas) é
2b=2raiz3

Passo 5

As assíntotas de uma hipérbole na forma x^2a^2-y^2b^2=1 são
y=pmba,x
Aqui ba=raiz31=raiz3, logo as assíntotas são
y=pmraiz3,x

Resposta

A cônica é uma hipérbole centrada na origem, horizontal, com:
vértices (pm1,0),
focos (pm2,0),
eixos de comprimento 2a=2 e 2b=2raiz3,
assíntotas y=pmraiz3,x.

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