Seja
o sólido de uma superfície fechada
. Sejam
funções. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um sólido
limitado por uma superfície fechada
. Temos duas funções,
e
, e precisamos mostrar que a integral de superfície de
é igual à integral de volume de
dentro de
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência e entender um pouquinho sobre operadores diferenciais como o gradiente (
) e o laplaciano (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre
é igual à integral de volume do divergente de
dentro de
. Matemáticamente, isso é escrito como:
Então, para aplicar esse teorema ao nosso caso, precisamos identificar qual é o campo vetorial
.
Passo 3
No nosso problema, o campo vetorial
é dado por
. Nosso objetivo é calcular o divergente desse campo vetorial, ou seja,
.
Passo 4
Vamos calcular o divergente termo a termo. Lembrando que o divergente de um produto de uma função escalar
e um vetor
é:
E similarmente:
Agora, substituindo esses resultados na expressão do divergente de
:
Passo 5
Observamos que os termos
e
se cancelam, pois são iguais e têm sinais opostos. Ficando:
Passo 6
Agora que calculamos o divergente de
, podemos aplicar o Teorema da Divergência:
Isso mostra exatamente o que o exercício pedia para provar!
Resposta
Concluímos que: