Seja S o sólido de uma superfície fechada M. Sejam f, g funções. Mostre que
integral duplaM(f nabla g-g nabla f) cdot n d M=integral triplaS(f triang<= g-g triang<= f) d V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um sólido S limitado por uma superfície fechada M. Temos duas funções, f e g, e precisamos mostrar que a integral de superfície de (f nabla g - g nabla f) cdot n dM é igual à integral de volume de (f triang<= g - g triang<= f) dV dentro de S. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência e entender um pouquinho sobre operadores diferenciais como o gradiente ( nabla) e o laplaciano ( triang<=).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de um campo vetorial F sobre M é igual à integral de volume do divergente de F dentro de S. Matemáticamente, isso é escrito como:
integral duplaM F cdot n dM = integral triplaS nabla cdot F dV
Então, para aplicar esse teorema ao nosso caso, precisamos identificar qual é o campo vetorial F.

Passo 3

No nosso problema, o campo vetorial F é dado por (f nabla g - g nabla f). Nosso objetivo é calcular o divergente desse campo vetorial, ou seja, nabla cdot (f nabla g - g nabla f).

Passo 4

Vamos calcular o divergente termo a termo. Lembrando que o divergente de um produto de uma função escalar f e um vetor nabla g é:
nabla cdot (f nabla g) = nabla f cdot nabla g + f triang<= g
E similarmente:
nabla cdot (g nabla f) = nabla g cdot nabla f + g triang<= f
Agora, substituindo esses resultados na expressão do divergente de F:
nabla cdot (f nabla g - g nabla f) = (nabla f cdot nabla g + f triang<= g) - (nabla g cdot nabla f + g triang<= f)

Passo 5

Observamos que os termos nabla f cdot nabla g e nabla g cdot nabla f se cancelam, pois são iguais e têm sinais opostos. Ficando:
nabla cdot (f nabla g - g nabla f) = f triang<= g - g triang<= f

Passo 6

Agora que calculamos o divergente de F, podemos aplicar o Teorema da Divergência:
integral duplaM (f nabla g - g nabla f) cdot n dM = integral triplaS (f triang<= g - g triang<= f) dV
Isso mostra exatamente o que o exercício pedia para provar!

Resposta

Concluímos que:
integral duplaM(f nabla g - g nabla f) cdot n dM = integral triplaS(f triang<= g - g triang<= f) dV

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