Se tivermos N pilhas elétricas idênticas, podemos formar baterias por diferentes forma unindo entre si grupos de n pilhas em série e, depois, os grupos assim formados (em número N / n ) em paralelo. A intensidade da corrente que proporciona uma bateria deste tipo se determina pela expressão I=E N nN R+n^2 r, em que E é a força eletromotriz de uma pilha, r sua resistência interna e R, sua resistência externa. Determinar para que valor de n a bateria proporciona a maior intensidade da corrente.

Passo 1

O enunciado dá a intensidade de corrente de uma bateria formada por N pilhas em que agrupamos n delas em série (e depois juntamos esses grupos em paralelo) como
I(n)=E,N,nN,R + r,n^2,
O objetivo é escolher n de modo a tornar I(n) máximo. Vamos usar cálculo de máximos e mínimos: derivada de I(n) em relação a n deve anular-se num ponto de extremo interno.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para
I(n)=E,N,nN,R + r,n^2,
Como E e N são constantes positivas, escrevemos
I(n)=EN;nN,R + r,n^2
e então
dIdn =EN, (N,R + r,n^2)cdot 1 - ncdot(2r,n)(N,R + r,n^2)^2 =EN, N,R - r,n^2(N,R + r,n^2)^2,

Passo 3

Impondo dIdn=0 obtemos
N,R - r,n^2 = 0 Longrightarrow n^2 = N,Rr Longrightarrow n = raizN,Rr,
Para confirmar que é um máximo, note que para n<raizN,R/r a derivada é positiva e para n>raizN,R/r é negativa, caracterizando um ponto de máximo.

Resposta

n = raizN,Rr
Se for preciso n inteiro, escolhe-se o inteiro mais próximo de raizN,R/r.

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