Determinar que diâmetro, y, deverá ter a abertura circular de um dique para que o gasto de água por segundo, Q, seja o maior possível se Q=c y raizh-y, em que h é a profundidade do ponto inferior da abertura (tanto h, como o coeficiente empírico c são constantes).

Passo 1

O enunciado dá a relação do gasto de água por segundo
Q = c,yraiz,h - y,
em que c e h são constantes conhecidas, e pede o valor de y que torna Q máximo.
Conteúdo: otimização de função de uma variável usando derivada e verificação de máximo.

Passo 2

Identificamos o domínio de interesse como 0<= y<= h. Vamos calcular a derivada de
Q(y) = c,y,(h - y)^1/2
pela regra do produto e da cadeia:
Q'(y) = cl[1cdot (h - y)^1/2 + ycdot tfrac12 (h - y)^-1/2cdot(-1)r] = cl(raizh - y - y2raizh - yr)

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, impomos Q'(y)=0:
raizh - y ;=;y2raizh - y Longrightarrow 2(h - y)=y Longrightarrow 2h=3y Longrightarrow y=2h3

Passo 4

Verificamos que em y=0 e y=h vale Q=0, enquanto em y=2h/3 obtemos Q>0. Além disso, pode-se checar que Q''(y)<0 em y=2h/3, indicando um máximo local que, pelos valores nos extremos, é também máximo global.

Resposta

y = 2h3

Exercícios relacionados