Em que circunstâncias
?
Passo 1
O enunciado pede para saber em que casos a igualdade
ocorre para números complexos
e
. O conteúdo principal é a desigualdade triangular em
e a condição de igualdade nela.
Passo 2
Em
, a desigualdade triangular diz que para quaisquer
temos
Essa é uma versão do mesmo resultado para vetores em
.
Passo 3
A igualdade na desigualdade triangular em geral ocorre se, e somente se, os vetores (aqui os complexos) são colineares e apontam na mesma direção. Em termos de complexos, isso significa que existe
real tal que
Passo 4
Outra forma equivalente de ver isso é notar que a igualdade vale se, e só se,
para algum inteiro
. Em outras palavras,
e
têm o mesmo argumento.
Passo 5
Podemos também escrever a condição usando conjugado: a igualdade ocorre exatamente quando
Resposta
A igualdade |z₁+z₂| = |z₁| + |z₂| ocorre se, e somente se, z₁ e z₂ são colineares e apontam na mesma direção (isto é, existe t ≥ 0 real tal que z₂ = t·z₁, ou equivalentemente arg(z₁) = arg(z₂)).