Em que circunstâncias ?

Passo 1

O enunciado pede para saber em que casos a igualdade |z1+z2| = |z1| + |z2| ocorre para números complexos z1 e z2. O conteúdo principal é a desigualdade triangular em C e a condição de igualdade nela.

Passo 2

Em C, a desigualdade triangular diz que para quaisquer z1,z2 temos
|z1+z2| <= |z1| + |z2|
Essa é uma versão do mesmo resultado para vetores em R^2.

Passo 3

A igualdade na desigualdade triangular em geral ocorre se, e somente se, os vetores (aqui os complexos) são colineares e apontam na mesma direção. Em termos de complexos, isso significa que existe t >= 0 real tal que
z2 = t,z1

Passo 4

Outra forma equivalente de ver isso é notar que a igualdade vale se, e só se,
arg(z1) = arg(z2) + 2kpi
para algum inteiro k. Em outras palavras, z1 e z2 têm o mesmo argumento.

Passo 5

Podemos também escrever a condição usando conjugado: a igualdade ocorre exatamente quando
Iml(z1z2r)=0 e Rel(z1z2r)>=0

Resposta

A igualdade |z₁+z₂| = |z₁| + |z₂| ocorre se, e somente se, z₁ e z₂ são colineares e apontam na mesma direção (isto é, existe t ≥ 0 real tal que z₂ = t·z₁, ou equivalentemente arg(z₁) = arg(z₂)).

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