Desenhe os seguintes conjuntos:
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto A no plano por uma desigualdade envolvendo x e y:
Precisamos desenhar A = { (x,y) ∈ ℝ² │ y³ − x ≤ 2 }. O conteúdo é geometria de regiões definidas por desigualdades e vamos usar manipulação algébrica para identificar a fronteira e depois traçar a região correspondente.
Precisamos desenhar A = { (x,y) ∈ ℝ² │ y³ − x ≤ 2 }. O conteúdo é geometria de regiões definidas por desigualdades e vamos usar manipulação algébrica para identificar a fronteira e depois traçar a região correspondente.
Passo 2
Reescrevendo a desigualdade para isolar x, fazemos:
Subtraímos y³ dos dois lados e multiplicamos por −1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
Passo 3
A fronteira da região é a curva onde vale igualdade:
Isso é uma curva cúbica em função de y. Alguns pontos chave:
- Para y=0, x = 0³ − 2 = −2.
- Para y=1, x = 1³ − 2 = −1.
- Para y=−1, x = (−1)³ − 2 = −3.
O formato é uma curva contínua em S, que corre verticalmente conforme y varia.
Passo 4
Como a desigualdade é x ≥ y³ − 2, o conjunto A é composto de todos os pontos do plano que ficam do lado direito (ou sobre) dessa curva cúbica. Incluímos a própria curva pois a desigualdade é “≤” originalmente.
Passo 5
Para desenhar efetivamente:
- Trace os eixos x e y.
- Marque a curva x = y³ − 2, passando por (−2,0), (−1,1), (−3,−1) etc.
- Sombreie toda a região à direita dessa curva, incluindo a fronteira.
Resposta
O conjunto A é a região do plano que está à direita da curva
, incluindo essa curva.