Questão 5: (Retirada do livro: Munem, M. A; Foulis, D. J. Cálculo (capítulo 2))
A pressảo P de um gás depende do seu volume V de acordo com a lei de Boyle, P= C V, onde C é uma constante. Suponha que C=2.000, que P é medida em quilos por centímetro quadrado e que V é medido em centímetros cúbicos. Calcule:
(a) A taxa de variação média de P em relação a V quando V aumenta de 100 centímetros cúbicos para 125 centímetros cúbicos.
(b) A taxa de variação instantânea de P em relação a V no instante em que V=100 centímetros cúbicos.

Passo 1

Resumimos que a pressão P depende do volume V pela lei de Boyle, P=CV com C=2000. Vamos usar taxa de variação média e derivada para achar as taxas solicitadas.

Passo 2

Substituindo C=2000, a função fica P(V)=2000V.

Passo 3

Para a taxa média de variação de P entre V=100 e V=125, usamos P(125)-P(100)125-100. Calculamos P(125)=2000125=16 e P(100)=2000100=20. Assim, a taxa média é 16-2025=-425=-0,16.

Passo 4

Para a taxa instantânea de variação, derivamos P(V)=2000V^-1. A derivada é P'(V)=-2000V^-2=-2000V^2.

Passo 5

Avaliando em V=100, temos P'(100)=-2000100^2=-200010000=-0,20.

Resposta

(a) -0,16 kg/cm² por cm³; (b) -0,20 kg/cm² por cm³.

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