Questão 5: (Retirada do livro: Munem, M. A; Foulis, D. J. Cálculo (capítulo 2))
A pressảo
de um gás depende do seu volume
de acordo com a lei de Boyle,
, onde
é uma constante. Suponha que
, que
é medida em quilos por centímetro quadrado e que
é medido em centímetros cúbicos. Calcule:
(a) A taxa de variação média de
em relação a
quando
aumenta de 100 centímetros cúbicos para 125 centímetros cúbicos.
(b) A taxa de variação instantânea de
em relação a
no instante em que
centímetros cúbicos.
A pressảo
(a) A taxa de variação média de
(b) A taxa de variação instantânea de
Passo 1
Resumimos que a pressão P depende do volume V pela lei de Boyle,
com
. Vamos usar taxa de variação média e derivada para achar as taxas solicitadas.
Passo 2
Substituindo
, a função fica
.
Passo 3
Para a taxa média de variação de P entre
e
, usamos
. Calculamos
e
. Assim, a taxa média é
.
Passo 4
Para a taxa instantânea de variação, derivamos
. A derivada é
.
Passo 5
Avaliando em
, temos
.
Resposta
(a) -0,16 kg/cm² por cm³; (b) -0,20 kg/cm² por cm³.