cite conceitos e informações gerais e especificas sobre quadricas e superfícies cilindricas
Passo 1
O enunciado pede uma síntese de conceitos gerais e específicos sobre superfícies quádricas e superfícies cilíndricas no espaço
. O conteúdo é geometria analítica de segundo grau, em que vamos precisar conhecer a forma geral da equação polinomial de grau 2 em três variáveis, as transformações para forma canônica e a definição de cilindros como superfícies geradas pela extrusão de uma curva.
Passo 2
Superfícies quádricas são dadas pela equação geral
onde
são constantes reais e nem todos
são zero. Em forma matricial, escrevemos
com
,
simétrica
, e
. Para classificar, analisamos os autovalores de
(invariantes abaixo de transformações rigidas) e o termo linear.
Passo 3
Ao reduzir por translação (para anular
) e rotação (para diagonalizar
), obtemos as formas canônicas:
Cada um desses tipos tem curvatura gaussiana não nula (exceto o cone que é degenerado em apex) e diferentes conjuntos de seções planas.
Passo 4
Superfícies cilíndricas são obtidas ao “extrudar” uma curva plana ao longo de uma direção fixa. A equação geral independe de uma das variáveis, por exemplo
lê-se cilindro gerado por essa curva no plano
, estendido paralelamente ao eixo
. A curvatura gaussiana de toda superfície cilíndrica é zero porque existe sempre uma direção de geratrizes retas.
Passo 5
Exemplos de superfícies cilíndricas e suas curvas geratrizes:
Em cada caso, a reta geratriz é paralela ao eixo
. Essas superfícies são usadas em arquitetura e engenharia para estruturas de baixa curvatura e fáceis de fabricar.
Resposta
Conceitos principais:
– Superfície quádric a partir de polinômio de grau 2 em , classificada por sinais dos autovalores da matriz quadrática, levando às seis formas canônicas (elipsóide, hiperbolóides, paraboloides e cone).
– Superfície cilíndrica como extrusão de uma curva ao longo de uma reta fixa, com curvatura gaussiana zero e geratrizes retas.
– Superfície quádric a partir de polinômio de grau 2 em
– Superfície cilíndrica como extrusão de uma curva