cite conceitos e informações gerais e especificas sobre quadricas e superfícies cilindricas

Passo 1

O enunciado pede uma síntese de conceitos gerais e específicos sobre superfícies quádricas e superfícies cilíndricas no espaço \mathbb{R}^3. O conteúdo é geometria analítica de segundo grau, em que vamos precisar conhecer a forma geral da equação polinomial de grau 2 em três variáveis, as transformações para forma canônica e a definição de cilindros como superfícies geradas pela extrusão de uma curva.

Passo 2

Superfícies quádricas são dadas pela equação geral
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0,
onde A,B,C,D,E,F,G,H,I,J são constantes reais e nem todos A,B,C,D,E,F são zero. Em forma matricial, escrevemos
\mathbf{X}^T M \,\mathbf{X} + \mathbf{L}^T\mathbf{X} + J = 0,
com \mathbf{X}=(x,y,z)^T, M simétrica 3\times3, e \mathbf{L}=(G,H,I)^T. Para classificar, analisamos os autovalores de M (invariantes abaixo de transformações rigidas) e o termo linear.

Passo 3

Ao reduzir por translação (para anular \mathbf{L}) e rotação (para diagonalizar M), obtemos as formas canônicas:
\begin{aligned} &\text{1. Elipsóide: } \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y'^2}{b^2} + \frac{z'^2}{c^2} = 1,\\\ &\text{2. Hiperbolóide de uma folha: } \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y'^2}{b^2} - \frac{z'^2}{c^2} = 1,\\\ &\text{3. Hiperbolóide de duas folhas: } -\frac{x'^2}{a^2} - \frac{y'^2}{b^2} + \frac{z'^2}{c^2} = 1,\\\ &\text{4. Paraboloide elíptico: } \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y'^2}{b^2} = z',\\\ &\text{5. Paraboloide hiperbólico: } \frac{x'^2}{a^2} - \frac{y'^2}{b^2} = z',\\\ &\text{6. Cone duplo elíptico: } \frac{x'^2}{a^2} + \frac{y'^2}{b^2} - \frac{z'^2}{c^2} = 0. \end{aligned}óóóíóí
Cada um desses tipos tem curvatura gaussiana não nula (exceto o cone que é degenerado em apex) e diferentes conjuntos de seções planas.

Passo 4

Superfícies cilíndricas são obtidas ao “extrudar” uma curva plana ao longo de uma direção fixa. A equação geral independe de uma das variáveis, por exemplo
F(x,y)=0
lê-se cilindro gerado por essa curva no plano xy, estendido paralelamente ao eixo z. A curvatura gaussiana de toda superfície cilíndrica é zero porque existe sempre uma direção de geratrizes retas.

Passo 5

Exemplos de superfícies cilíndricas e suas curvas geratrizes:
\text{Cilindro circular: } x^2 + y^2 = R^2,
\text{Cilindro parabólico: } y = a\,x^2,ó
\text{Cilindro hiperbólico: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.ó
Em cada caso, a reta geratriz é paralela ao eixo z. Essas superfícies são usadas em arquitetura e engenharia para estruturas de baixa curvatura e fáceis de fabricar.

Resposta

Conceitos principais:
– Superfície quádric a partir de polinômio de grau 2 em (x,y,z), classificada por sinais dos autovalores da matriz quadrática, levando às seis formas canônicas (elipsóide, hiperbolóides, paraboloides e cone).
– Superfície cilíndrica como extrusão de uma curva F(x,y)=0 ao longo de uma reta fixa, com curvatura gaussiana zero e geratrizes retas.

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