Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) T: \mathbf{M}(2,2) \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T\left(\left[\begin{array}{ll}x & y \\\ z & w\end{array}\right]\right)=(x+y, 0).

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação
T\colon M(2,2)\to\mathbb{R}^2
definida por
T\bigl(\begin{bmatrix}x & y\\\ z & w\end{bmatrix}\bigr) = (\,x+y,\,0\,).
Queremos verificar se T é linear, ou seja, se satisfaz as propriedades de aditividade \;T(A+B)=T(A)+T(B); e de homogeneidade \;T(cA)=c\,T(A).

Passo 2

Verificação da aditividade. Se
A=\begin{bmatrix}x & y\\\ z & w\end{bmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{bmatrix}x' & y'\\\ z' & w'\end{bmatrix},
então
A+B=\begin{bmatrix}x+x' & y+y'\\\ z+z' & w+w'\end{bmatrix}
e, aplicando T, obtemos
T(A+B) =\bigl((x+x')+(y+y'),\,0\bigr) =(x+y,\,0)+(x'+y',\,0) =T(A)+T(B).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para c\in\mathbb{R} e
A=\begin{bmatrix}x & y\\\ z & w\end{bmatrix}
temos
cA =\begin{bmatrix}c\,x & c\,y\\\ c\,z & c\,w\end{bmatrix},
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T(cA) =\bigl(c\,x + c\,y,\,0\bigr) =(c\,(x+y),\,0) =c\,(x+y,\,0) =c\,T(A).

Passo 4

Como T satisfaz tanto \;T(A+B)=T(A)+T(B); quanto \;T(cA)=c\,T(A), T é uma transformação linear.

Resposta

T é transformação linear.

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