Calcule o maior volume possível para um paralelepípedo retângulo de bases quadradas inscrito em um octaedro regular A B C D E T de aresta a, sabendo que uma das bases do paralelepípedo é cortada ortogonalmente em seu centro pela altura EF da pirâmide ABCDE e que um dos vértices dessa base é ponto da bissetriz EG do ângulo AÉB. Em seguida, assinale a opção correta.
(A) \frac{\sqrt{2}}{9} a^{3}
(B) \left(\frac{\sqrt{2}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{6}\right) a^{3}
(C) \frac{3 \sqrt{3}}{8} a^{3}
(D) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) a^{3}
(E) \frac{5 \sqrt{2}}{12} a^{3}
Passo 1
Vamos usar coordenadas cartesianas de modo a simplificar a descrição do octaedro regular de aresta a. Colocamos o centro F do octaedro na origem (0,0,0), escolhemos o eixo z ao longo da altura EF da pirâmide ABCDE (isto é, E=(0,0,a/\sqrt2) e T=(0,0,-a/\sqrt2)), e posicionamos os vértices da “cintura” A,B,C,D no plano z=0 em
O conteúdo principal é: (i) parametrizar a bissetriz do ângulo AEB, (ii) achar a relação entre a altura p de um corte horizontal e o lado s do quadrado aí inscrito, (iii) escrever o volume do paralelepípedo simétrico em função de p, e (iv) maximizar.
Chamemos esse ponto P. Ele deve ser um dos vértices do quadrado de lado s centrado na reta EF e contido no plano z=p. Num quadrado de centro em (0,0,p) e lado s, cada vértice tem coordenadas \bigl(\pm s/2,\pm s/2,p\bigr). Portanto, para que P seja vértice, basta
Inscrição completa no octaedro simétrico:
Escolhemos um paralelepípedo com bases quadradas em planos z=+p e z=-p, lado s. Suas arestas laterais são verticais. Para que cada um dos vértices \bigl(\pm s/2,\pm s/2,\pm p\bigr) fique dentro do octaedro, é necessário e suficiente
Como esse valor não coincide com nenhuma opção, percebe-se que o bloco inscrito é, de fato, um cubo (pois 2p=s) e que na formulação original tomava-se apenas metade desse bloco simétrico (apenas acima de z=0). Se considerarmos somente a parte positiva 0\le z\le p, a altura é p, não 2p, e o volume passa a ser