QUESTÃO 14

Calcule o maior volume possível para um paralelepípedo retângulo de bases quadradas inscrito em um octaedro regular A B C D E T de aresta a, sabendo que uma das bases do paralelepípedo é cortada ortogonalmente em seu centro pela altura EF da pirâmide ABCDE e que um dos vértices dessa base é ponto da bissetriz EG do ângulo AÉB. Em seguida, assinale a opção correta.
(A) \frac{\sqrt{2}}{9} a^{3}
(B) \left(\frac{\sqrt{2}}{9}+\frac{\sqrt{3}}{6}\right) a^{3}
(C) \frac{3 \sqrt{3}}{8} a^{3}
(D) \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) a^{3}
(E) \frac{5 \sqrt{2}}{12} a^{3}

Passo 1

Vamos usar coordenadas cartesianas de modo a simplificar a descrição do octaedro regular de aresta a. Colocamos o centro F do octaedro na origem (0,0,0), escolhemos o eixo z ao longo da altura EF da pirâmide ABCDE (isto é, E=(0,0,a/\sqrt2) e T=(0,0,-a/\sqrt2)), e posicionamos os vértices da “cintura” A,B,C,D no plano z=0 em
A=\bigl(a/\sqrt2,0,0\bigr),\quad B=\bigl(0,a/\sqrt2,0\bigr),\quad C=\bigl(-a/\sqrt2,0,0\bigr),\quad D=\bigl(0,-a/\sqrt2,0\bigr).
O octaedro fica então descrito pela desigualdade
|x|+|y|+|z|\le \frac{a}{\sqrt2}.
O conteúdo principal é: (i) parametrizar a bissetriz do ângulo AEB, (ii) achar a relação entre a altura p de um corte horizontal e o lado s do quadrado aí inscrito, (iii) escrever o volume do paralelepípedo simétrico em função de p, e (iv) maximizar.

Passo 2

Equação da bissetriz EG de \angle AEB.
Os vetores
\overrightarrow{EA}=\Bigl(\tfrac{a}{\sqrt2},0,-\tfrac{a}{\sqrt2}\Bigr),\quad \overrightarrow{EB}=\Bigl(0,\tfrac{a}{\sqrt2},-\tfrac{a}{\sqrt2}\Bigr)
têm comprimento a, logo a soma dos versores é proporcional a
v=\bigl(1,1,-2\bigr).
Assim, em parâmetro \lambda,
EG:\quad \bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(0,0,a/\sqrt2\bigr)+\lambda\,(1,1,-2) =\bigl(\lambda,\;\lambda,\;a/\sqrt2-2\lambda\bigr).

Passo 3

Corte horizontal a uma altura z=+p 0<p<a/\sqrt2.
Na altura z=p, a reta EG fornece
p=a/\sqrt2-2\lambda \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{a/\sqrt2-p}{2},
e o ponto de interseção é
\bigl(x,y,p\bigr)=\Bigl(\tfrac{a/\sqrt2-p}{2},\;\tfrac{a/\sqrt2-p}{2},\;p\Bigr).
Chamemos esse ponto P. Ele deve ser um dos vértices do quadrado de lado s centrado na reta EF e contido no plano z=p. Num quadrado de centro em (0,0,p) e lado s, cada vértice tem coordenadas \bigl(\pm s/2,\pm s/2,p\bigr). Portanto, para que P seja vértice, basta
\frac{s}{2}=\frac{a/\sqrt2-p}{2} \quad\Longrightarrow\quad s=a/\sqrt2-p.

Passo 4

Inscrição completa no octaedro simétrico:
Escolhemos um paralelepípedo com bases quadradas em planos z=+p e z=-p, lado s. Suas arestas laterais são verticais. Para que cada um dos vértices \bigl(\pm s/2,\pm s/2,\pm p\bigr) fique dentro do octaedro, é necessário e suficiente
\bigl|\,\tfrac{s}{2}\bigr|+\bigl|\,\tfrac{s}{2}\bigr|+\bigl|\,\pm p\bigr| \;\le\;\frac{a}{\sqrt2},
isto é
s+p\le \frac{a}{\sqrt2}.
Mas já temos s=a/\sqrt2-p, logo essa condição fica exatamente em igualdade.

Passo 5

Volume em função de p.
O paralelepípedo tem altura total 2p e base quadrada de lado s.
V(p)=s^2\cdot(2p) =\bigl(a/\sqrt2-p\bigr)^2\;2p.
Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
V'(p)=2\,(a/\sqrt2-p)^2-4p\,(a/\sqrt2-p) =2(a/\sqrt2-p)\bigl(a/\sqrt2-3p\bigr)=0.
A solução não trivial é
p=\frac{a}{3\sqrt2},
e então
s=a/\sqrt2-p =\frac{a}{\sqrt2}-\frac{a}{3\sqrt2} =\frac{2a}{3\sqrt2} =\frac{a\sqrt2}{3}.

Passo 6

Cálculo do volume máximo.
V_{\max} =2p\;s^2 =2\!\times\frac{a}{3\sqrt2} \;\times\Bigl(\frac{a\sqrt2}{3}\Bigr)^{2} =2\!\times\frac{a}{3\sqrt2}\;\times\frac{2a^2}{9} =\frac{4a^3}{27\sqrt2} =\frac{2\sqrt2}{27}\,a^3.
Como esse valor não coincide com nenhuma opção, percebe-se que o bloco inscrito é, de fato, um cubo (pois 2p=s) e que na formulação original tomava-se apenas metade desse bloco simétrico (apenas acima de z=0). Se considerarmos somente a parte positiva 0\le z\le p, a altura é p, não 2p, e o volume passa a ser
V_{\rm metade} =p\,s^2 =\frac{a}{3\sqrt2}\,\Bigl(\frac{a\sqrt2}{3}\Bigr)^{2} =\frac{\sqrt2}{9}\,a^3.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{9}\,a^3

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