Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(c) T: \mathbf{M}(2,2) \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T\left(\left[\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right]\right)=(x+w, y+z).

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbf{M}(2,2)\to \mathbb{R}^2
por
T\Bigl(\begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix}\Bigr) = (\,x+w,\;y+z\,).
Para mostrar que T é transformação linear, vamos verificar duas propriedades básicas:
  1. Aditividade: T(A+B)=T(A)+T(B).
  2. Homogeneidade: T(\alpha A)=\alpha\,T(A).

Passo 2

Sejam
A = \begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}x' & y'\\\ z' & w'\end{pmatrix}.
Então
A + B = \begin{pmatrix}x+x' & y+y'\\\ z+z' & w+w'\end{pmatrix}
e, aplicando T,
T(A+B) = \bigl((x+x') + (w+w'),\;(y+y') + (z+z')\bigr).
Reagrupando,
T(A+B) = \bigl(x+w,\;y+z\bigr) + \bigl(x'+w',\;y'+z'\bigr) = T(A) + T(B).
Logo, T é aditiva.

Passo 3

Pegue um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha A = \begin{pmatrix}\alpha x & \alpha y\\\ \alpha z & \alpha w\end{pmatrix},
e
T(\alpha A) = \bigl(\alpha x + \alpha w,\;\alpha y + \alpha z\bigr) = \alpha\,(x+w,\;y+z) = \alpha\,T(A).
Portanto, T satisfaz a homogeneidade.

Resposta

T é transformação linear.

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