Cite um exemplo de três séries
e
que atendam a todas as cinco condições abaixo:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Passo 1
O problema pede para dar um exemplo explícito de três sequências (
,
,
) cujas séries infinitas satisfazem simultaneamente as cinco condições abaixo:
Vou apresentar sequências concretas e, passo a passo, mostrar por que cada uma das condições fica satisfeita. Respira e vamos com calma — vou explicar cada fato usado.
Passo 2
Escolho as seguintes sequências (bem clássicas, simples e fáceis de manipular):
Agora vou verificar uma a uma as condições do enunciado, explicando o que uso em cada verificação.
Passo 3
Verificação de
com
.
- Eu uso o teste da série
(p-series): a série converge exatamente quando . - Aqui
, portanto a série converge. Em termos intuitivos, os termos decaem rápido o bastante para que a soma total seja finita. - Logo
.
(Se quiser uma justificativa curta: pelo teste integral ou pelo fato clássico de que
, mas não é preciso conhecer o valor exato para saber que converge.)
Passo 4
Verificação de
com
e
.
- Quero mostrar
para todo . - Multiplico ambos os lados por
, obtenho , que é verdade para todo . - Portanto, para todo
temos , ou seja, a condição (ii) está satisfeita.
Passo 5
Verificação de
com
.
- A série
é a famosa série harmônica, e sabe-se que ela diverge. Vou dar uma demonstração curta e intuitiva (muito usada em provas): - Agrupe os termos assim:
- Note que
, , e assim por diante; cada bloco de termos é ao menos . - Logo as somas parciais crescem pelo menos como
, que diverge.
- Agrupe os termos assim:
- Assim
. Isso satisfaz a condição (iv).
Passo 6
Verificação de
com
.
- Aqui
é a soma de com , ambas não negativas para todo . Logo para todo . - Portanto a condição (iii) está satisfeita.
Passo 7
Verificação de
com
.
- Uma propriedade muito útil é: se
e convergem (ambas com termos não necessariamente positivos), então também converge e sua soma é a soma das somas. Aqui trabalhamos com termos positivos, então é direto. - Já sabemos pela Passo 3 que
. - A segunda série
é uma série geométrica com razão , e uma série geométrica converge se . Neste caso, portanto converge. - Sendo as duas séries convergentes, a série
converge (é soma de duas séries convergentes). Logo , satisfazendo (v).
Passo 8
Resumo final das verificações:
-
. (Passo 3) - Para todo
, . (Passo 4) - Para todo
, . (Passo 6) -
. (Passo 5) -
. (Passo 7)
Portanto todas as cinco condições do enunciado são atendidas pelas escolhas acima.