Cite um exemplo de três séries \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}, \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} e \sum_{k=1}^{\infty} c_{k} que atendam a todas as cinco condições abaixo:
i. \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}<\infty
ii. \quad b_{k} \geq a_{k}
iii. \quad c_{k} \geq a_{k}
iv. \sum_{k=1}^{\infty} b_{k}=\infty
v. \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}<\infty

Passo 1

O problema pede para dar um exemplo explícito de três sequências ( \{a_k\}, \{b_k\}, \{c_k\}) cujas séries infinitas satisfazem simultaneamente as cinco condições abaixo:
\text{i. }\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}<\infty
\text{ii. } b_{k} \geq a_{k}\quad\text{para todo }k
\text{iii. } c_{k} \geq a_{k}\quad\text{para todo }k
\text{iv. }\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}=\infty
\text{v. }\sum_{k=1}^{\infty} c_{k}<\infty
Vou apresentar sequências concretas e, passo a passo, mostrar por que cada uma das condições fica satisfeita. Respira e vamos com calma — vou explicar cada fato usado.

Passo 2

Escolho as seguintes sequências (bem clássicas, simples e fáceis de manipular):
a_k=\frac{1}{k^{2}},\qquad b_k=\frac{1}{k},\qquad c_k=\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{2^{k}}.
Agora vou verificar uma a uma as condições do enunciado, explicando o que uso em cada verificação.

Passo 3

Verificação de \sum_{k=1}^{\infty} a_{k}<\infty com a_k=\dfrac{1}{k^{2}}.
  • Eu uso o teste da série p (p-series): a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}} converge exatamente quando p>1.
  • Aqui p=2>1, portanto a série converge. Em termos intuitivos, os termos \dfrac{1}{k^{2}} decaem rápido o bastante para que a soma total seja finita.
  • Logo \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}<\infty.
(Se quiser uma justificativa curta: pelo teste integral ou pelo fato clássico de que \sum 1/k^{2}=\pi^{2}/6, mas não é preciso conhecer o valor exato para saber que converge.)

Passo 4

Verificação de b_{k} \geq a_{k} com b_k=\dfrac{1}{k} e a_k=\dfrac{1}{k^{2}}.
  • Quero mostrar \dfrac{1}{k}\ge \dfrac{1}{k^{2}} para todo k\in\mathbb{N}.
  • Multiplico ambos os lados por k^{2}>0, obtenho k \ge 1, que é verdade para todo k\ge 1.
  • Portanto, para todo k temos b_k\ge a_k, ou seja, a condição (ii) está satisfeita.

Passo 5

Verificação de \sum_{k=1}^{\infty} b_{k}=\infty com b_k=\dfrac{1}{k}.
  • A série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} é a famosa série harmônica, e sabe-se que ela diverge. Vou dar uma demonstração curta e intuitiva (muito usada em provas):
    • Agrupe os termos assim: 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
    • Note que \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}, \frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8}\ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2}, e assim por diante; cada bloco de 2^{n-1} termos é ao menos \tfrac{1}{2}.
    • Logo as somas parciais crescem pelo menos como 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}+\cdots, que diverge.
  • Assim \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} b_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty. Isso satisfaz a condição (iv).

Passo 6

Verificação de c_{k} \geq a_{k} com c_k=\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{2^{k}}.
  • Aqui c_k é a soma de \dfrac{1}{k^{2}} com \dfrac{1}{2^{k}}, ambas não negativas para todo k. Logo c_k\ge \dfrac{1}{k^{2}}=a_k para todo k.
  • Portanto a condição (iii) está satisfeita.

Passo 7

Verificação de \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}<\infty com c_k=\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{2^{k}}.
  • Uma propriedade muito útil é: se \sum x_k e \sum y_k convergem (ambas com termos não necessariamente positivos), então \sum (x_k+y_k) também converge e sua soma é a soma das somas. Aqui trabalhamos com termos positivos, então é direto.
  • Já sabemos pela Passo 3 que \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}<\infty.
  • A segunda série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{2}, e uma série geométrica \sum r^{k} converge se |r|<1. Neste caso, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1/2}{1-1/2}=1,portanto converge.
  • Sendo as duas séries convergentes, a série \sum_{k=1}^{\infty} c_k=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{2^{k}}\right)converge (é soma de duas séries convergentes). Logo \sum_{k=1}^{\infty} c_k<\infty, satisfazendo (v).

Passo 8

Resumo final das verificações:
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}<\infty. (Passo 3)
  • Para todo k, b_k=\dfrac{1}{k}\ge \dfrac{1}{k^{2}}=a_k. (Passo 4)
  • Para todo k, c_k=\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{2^{k}}\ge \dfrac{1}{k^{2}}=a_k. (Passo 6)
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} b_k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\infty. (Passo 5)
  • \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} c_k=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{2^{k}}\right)<\infty. (Passo 7)
Portanto todas as cinco condições do enunciado são atendidas pelas escolhas acima.

Resposta

a_k=\dfrac{1}{k^{2}}
b_k=\dfrac{1}{k}
c_k=\dfrac{1}{k^{2}}+\dfrac{1}{2^{k}}

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