Questão 5. Dada a função y(x)=c \operatorname{sen} 2 x+k \cos 2 x, c e k constantes arbitrárias. Verifique se y satisfaz a EDO y^{\prime \prime}+4 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y(x)=c\sin 2x+k\cos 2x, onde c e k são constantes arbitrárias, e pede para verificar se essa função satisfaz a equação diferencial ordinária
y''+4y=0.
Informações relevantes:
\displaystyle y(x)=c\sin 2x+k\cos 2x.
Queremos calcular y' e y'' e verificar se, ao substituir na expressão \displaystyle y''+4y, obtemos zero para quaisquer constantes c e k.

Passo 2

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade): se f(x)=u(x)+v(x), então f'(x)=u'(x)+v'(x). Isso vale também multiplicando por constantes: se f(x)=a\cdot u(x) com a constante, então f'(x)=a\cdot u'(x).
  • Regra da cadeia: se temos u(x)=\sin(g(x)), então
u'(x)=\cos(g(x))\cdot g'(x).
Isto significa que derivamos a função externa ( \sin vira \cos) e multiplicamos pela derivada do argumento g(x).
  • Derivadas básicas de funções trigonométricas (com g(x)=x):
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Aplicando a regra da cadeia para g(x)=2x obtemos:
\frac{d}{dx}\sin(2x)=2\cos(2x),\qquad \frac{d}{dx}\cos(2x)=-2\sin(2x).
Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x). É o mesmo padrão.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \displaystyle y'(x) usando linearidade e a regra da cadeia:
y(x)=c\sin 2x+k\cos 2x.
Derivando termo a termo,
y'(x)=c\cdot\frac{d}{dx}\sin 2x + k\cdot\frac{d}{dx}\cos 2x.
Usando \dfrac{d}{dx}\sin 2x=2\cos 2x e \dfrac{d}{dx}\cos 2x=-2\sin 2x, obtemos
y'(x)=c\cdot 2\cos 2x + k\cdot(-2\sin 2x).
Simplificando os fatores:
y'(x)=2c\cos 2x - 2k\sin 2x.

Passo 4

Calcular a segunda derivada \displaystyle y''(x) derivando y'(x):
y'(x)=2c\cos 2x - 2k\sin 2x.
Derivando termo a termo e aplicando novamente a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(2c\cos 2x\big)=2c\cdot\frac{d}{dx}\cos 2x = 2c\cdot(-2\sin 2x) = -4c\sin 2x,
\frac{d}{dx}\big(-2k\sin 2x\big)=-2k\cdot\frac{d}{dx}\sin 2x = -2k\cdot(2\cos 2x) = -4k\cos 2x.
Somando os dois termos:
y''(x) = -4c\sin 2x - 4k\cos 2x.
Agora fatoramos -4:
y''(x) = -4\big(c\sin 2x + k\cos 2x\big).

Passo 5

Expressar y''+4y e simplificar:
Sabemos que \displaystyle y(x)=c\sin 2x + k\cos 2x. Então
y''(x)+4y(x) = -4\big(c\sin 2x + k\cos 2x\big) + 4\big(c\sin 2x + k\cos 2x\big).
Somando os termos idênticos com sinais opostos, obtemos
y''(x)+4y(x)=0.
Isso vale para quaisquer valores constantes de c e k.

Passo 6

Comentário conceptual rápido (útil para prova): a equação diferencial é linear e homogênea com coeficientes constantes. As funções \sin 2x e \cos 2x são soluções fundamentais, e qualquer combinação linear delas também é solução. A conta acima mostra esse fato explicitamente: \,y=c\sin 2x+k\cos 2x satisfaz a equação porque y''=-4y.

Resposta

Sim. \;y''+4y=0.

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