Questão 5. Dada a função
e
constantes arbitrárias. Verifique se
satisfaz a EDO
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, onde
e
são constantes arbitrárias, e pede para verificar se essa função satisfaz a equação diferencial ordinária
Informações relevantes:
.
Queremos calcular e
e verificar se, ao substituir na expressão
, obtemos zero para quaisquer constantes
e
.
Queremos calcular
Passo 2
Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicação didática):
- Derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade): se
, então . Isso vale também multiplicando por constantes: se com constante, então . - Regra da cadeia: se temos
, então
Isto significa que derivamos a função externa (
vira
) e multiplicamos pela derivada do argumento
.
- Derivadas básicas de funções trigonométricas (com
):
Aplicando a regra da cadeia para
obtemos:
Exemplo rápido para fixar:
. É o mesmo padrão.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
usando linearidade e a regra da cadeia:
Derivando termo a termo,
Usando
e
, obtemos
Simplificando os fatores:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
:
Derivando termo a termo e aplicando novamente a regra da cadeia:
Somando os dois termos:
Agora fatoramos
:
Passo 5
Expressar
e simplificar:
Sabemos que . Então
Sabemos que
Somando os termos idênticos com sinais opostos, obtemos
Isso vale para quaisquer valores constantes de
e
.
Passo 6
Comentário conceptual rápido (útil para prova): a equação diferencial é linear e homogênea com coeficientes constantes. As funções
e
são soluções fundamentais, e qualquer combinação linear delas também é solução. A conta acima mostra esse fato explicitamente:
satisfaz a equação porque
.
Resposta
Sim.