Resolva as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
Informações dadas e o que é pedido:
- É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O lado direito (forçamento) é
. - Queremos encontrar a solução geral
, ou seja, todas as soluções da equação.
Passo 2
Estratégia geral (explicação didática): para uma equação linear com coeficientes constantes do tipo
igualada a uma função forçada, a solução geral é a soma de duas partes:
- a solução complementar (ou homogênea)
, que resolve ; - uma solução particular
, que é uma solução qualquer de .
Ou seja,
Isso funciona porque
é linear (soma de soluções e multiplicação por constantes preservam soluções).
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo:
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la:
Portanto os raízes são
Passo 4
Montar a solução complementar usando as raízes reais distintas: quando as raízes são
e
distintas, a solução geral da homogênea é
Substituindo as raízes:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Escolher a forma da solução particular (método dos coeficientes indeterminados): o termo forçante é
. Geralmente tentamos
com
e
constantes a determinar. Antes de usar essa forma, verificamos se há ressonância: isso ocorreria se
fosse raiz da equação característica. As raízes da característica são
e
, não são
, portanto não há ressonância e a tentativa acima é adequada.
Passo 6
Calcular as derivadas de
. Começando por
Derivando:
Passo 7
Substituir
,
e
na equação diferencial
. Calculamos o lado esquerdo:
Agrupando os termos em
e
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Passo 8
Impor que essa expressão seja igual a
Resolvendo: da segunda equação temos
Substituindo na primeira:
Agora (A]:
]
Passo 9
Escrever a solução particular encontrada:
Assim a solução geral da equação diferencial é a soma da complementar com a particular: