Resolva as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-8 y=\cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' + 2y' - 8y = \cos(3x).
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O lado direito (forçamento) é \cos(3x).
  • Queremos encontrar a solução geral y(x), ou seja, todas as soluções da equação.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática): para uma equação linear com coeficientes constantes do tipo
L[y]=y''+2y'-8y
igualada a uma função forçada, a solução geral é a soma de duas partes:
  • a solução complementar (ou homogênea) y_c, que resolve L[y]=0;
  • uma solução particular y_p, que é uma solução qualquer de L[y]=\cos(3x).
    Ou seja,
y(x)=y_c(x)+y_p(x).
Isso funciona porque L é linear (soma de soluções e multiplicação por constantes preservam soluções).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y''+2y'-8y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo:
r^2 e^{r x} + 2r e^{r x} - 8 e^{r x}=0 \quad\Rightarrow\quad r^2+2r-8=0.
Essa é a equação característica. Vamos resolvê-la:
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-8)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm 6}{2}.
Portanto os raízes são
r_1=2,\qquad r_2=-4.

Passo 4

Montar a solução complementar usando as raízes reais distintas: quando as raízes são r_1 e r_2 distintas, a solução geral da homogênea é
y_c(x)=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}.
Substituindo as raízes:
y_c(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Escolher a forma da solução particular (método dos coeficientes indeterminados): o termo forçante é \cos(3x). Geralmente tentamos
y_p(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x),
com A e B constantes a determinar. Antes de usar essa forma, verificamos se há ressonância: isso ocorreria se \pm 3i fosse raiz da equação característica. As raízes da característica são 2 e -4, não são \pm 3i, portanto não há ressonância e a tentativa acima é adequada.

Passo 6

Calcular as derivadas de y_p. Começando por
y_p(x)=A\cos(3x)+B\sin(3x).
Derivando:
y_p'(x)=-3A\sin(3x)+3B\cos(3x),
y_p''(x)=-9A\cos(3x)-9B\sin(3x).

Passo 7

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial y''+2y'-8y=\cos(3x). Calculamos o lado esquerdo:
y_p''+2y_p'-8y_p = \bigl(-9A\cos(3x)-9B\sin(3x)\bigr) +2\bigl(-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)\bigr) -8\bigl(A\cos(3x)+B\sin(3x)\bigr).
Agrupando os termos em \cos(3x) e \sin(3x):
Coeficiente de \cos(3x):
-9A + 2\cdot 3B -8A = -9A +6B -8A = -17A +6B.
Coeficiente de \sin(3x):
-9B + 2\cdot(-3A) -8B = -9B -6A -8B = -17B -6A.
Portanto
y_p''+2y_p'-8y_p = \bigl(-17A+6B\bigr)\cos(3x) + \bigl(-6A-17B\bigr)\sin(3x).

Passo 8

Impor que essa expressão seja igual a \cos(3x)\). Isso gera o sistema para \(A\) e \(B\): \[\begin{cases} -17A + 6B = 1,\\[4pt] -6A -17B = 0. \end{cases}
Resolvendo: da segunda equação temos
-6A -17B=0 \quad\Rightarrow\quad 6A +17B=0 \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{17}{6}B.
Substituindo na primeira:
-17\left(-\frac{17}{6}B\right) + 6B = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{289}{6}B + \frac{36}{6}B = 1,
\frac{325}{6}B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{6}{325}.
Agora (A]:
A = -\frac{17}{6}B = -\frac{17}{6}\cdot\frac{6}{325} = -\frac{17}{325}.]

Passo 9

Escrever a solução particular encontrada:
y_p(x) = -\frac{17}{325}\cos(3x) + \frac{6}{325}\sin(3x) = \frac{1}{325}\bigl(-17\cos(3x) + 6\sin(3x)\bigr).
Assim a solução geral da equação diferencial é a soma da complementar com a particular:
y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-4x} -\frac{17}{325}\cos(3x) + \frac{6}{325}\sin(3x).

Resposta

y(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-4x}-\frac{17}{325}\cos(3x)+\frac{6}{325}\sin(3x)

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