Cite as principais caracteristicas da distribuiçâo normal ou gaussiana.

Passo 1

O enunciado pede para citar as principais características da distribuição normal (ou gaussiana). O conteúdo envolve teoria de variáveis aleatórias contínuas, em particular as propriedades da função densidade de probabilidade (fdp) e comportamentos estatísticos derivados dos parâmetros.

Passo 2

Definimos a função densidade de probabilidade da normal com média \mu e desvio-padrão \sigma por
f(x) \;=\; \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\;\exp\!\Bigl[-\tfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\Bigr],
onde \mu\in\mathbb{R} e \sigma>0. A partir dessa expressão podemos extrair várias propriedades fundamentais.

Passo 3

A curva é simétrica em torno de x=\mu, o que implica que
  • a média, a mediana e a moda coincidem em \mu, e
  • o gráfico é unimodal, com único pico em x=\mu.

Passo 4

Quanto ao comportamento assintótico e área sob a curva:
  • f(x)\to0 quando |x|\to\infty, de forma exponencial;
  • a área total sob a curva é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1;
  • o suporte é todo o eixo real, \mathbb{R}.

Passo 5

Pela chamada regra empírica dos 3 \sigma, temos que, se X\sim N(\mu,\sigma^{2}), então aproximadamente
  • 68{,}3\% das observações caem em [\mu-\sigma,\mu+\sigma],
  • 95{,}5\% em [\mu-2\sigma,\mu+2\sigma],
  • 99{,}7\% em [\mu-3\sigma,\mu+3\sigma].

Passo 6

Propriedades de transformações e momentos geradores:
  • Se X\sim N(\mu,\sigma^{2}) então Z=\tfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1), a normal padrão;
  • a função geradora de momentos é
M_{X}(t) = \exp\!\Bigl(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^{2}t^{2}\Bigr).

Passo 7

Em aplicações práticas, utiliza-se a tabela Z para calcular probabilidades de Z, já que toda normal pode ser reduzida à padrão por padronização.

Resposta

  • A função densidade de probabilidade é f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\bigl[-\tfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\bigr].
  • Suporte em \mathbb{R}, área total igual a 1 e decaimento exponencial aos extremos.
  • Simétrica em relação a x=\mu, unimodal, com média = mediana = moda = \mu.
  • Assintotos horizontais em y=0.
  • Regra empírica 68{,}3\%- 95{,}5\%- 99{,}7\% para \pm1\sigma, \pm2\sigma, \pm3\sigma.
  • Padrão por transformação Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1) e uso de tabela Z.
  • Função geradora de momentos M_{X}(t)=\exp\!\bigl(\mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^{2}t^{2}\bigr).

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