Uma metalúrgica produz componentes para a indústria automobilística e recebeu um pedido para o fornecimento de 7.240 peças de um determinado modelo a ser entregue em 10 dias úteis. A fábrica pode processar a peça em três máquinas que apresentam capacidade e precisão diferentes, e que produzirão durante 8 horas por dia, conforme os dados apresentados na tabela a seguir.
Máq. 1 Máq. 2 Máq. 3
Capacidade (peças/hora) 20 15 12
Descarte (%) 5 3 1
Custo descarte (R$/peça) 2 2 2
Custo operação (R$/hora) 85 75 70
Quantidade de máquinas 4 3 1
Quantas máquinas de cada tipo deverão ser alocadas para esse trabalho com o menor custo possível?

Passo 1

O enunciado pede que a fábrica entregue 7\,240 peças boas em 10 dias úteis, produzindo 8 horas por dia, ou seja, T=10\times8=80 horas totais. Há três tipos de máquina, cada uma com taxa de produção C_i (peças/hora), taxa de descarte d_i, custo de operação h_i (R$/hora) e custo de descarte de cada peça ruim igual a R$ 2. Cada tipo i tem estoque máximo de N_i^{\max} máquinas. Queremos escolher inteiros N_1,N_2,N_3 com 0\le N_i\le N_i^{\max} que atinjam pelo menos 7\,240 peças boas e minimizem o custo total (operação + descarte).

Passo 2

Para cada tipo i\in\{1,2,3\} calculamos:
– produção líquida por máquina em 80 h:
P_i = C_i \times 80 \times (1 - d_i).
– custo de operação por máquina:
O_i = h_i \times 80.
– número de peças descartadas por máquina:
R_i = C_i \times 80 \times d_i,
com custo de descarte
D_i = 2 \times R_i.
– custo total por máquina
T_i = O_i + D_i,
e custo por peça boa
c_i = \frac{T_i}{P_i}.
Substituindo os dados:
Máq 1 ( C_1=20, d_1=0{,}05, h_1=85):
P_1 = 20\cdot80\cdot0{,}95 = 1\,520,\quad O_1=85\cdot80=6\,800,\quad R_1=20\cdot80\cdot0{,}05=80,\quad D_1=80\cdot2=160,
T_1=6\,800+160=6\,960,\quad c_1=\frac{6\,960}{1\,520}\approx4{,}579.
Máq 2 ( C_2=15, d_2=0{,}03, h_2=75):
P_2 = 15\cdot80\cdot0{,}97 = 1\,164,\quad O_2=75\cdot80=6\,000,\quad R_2=15\cdot80\cdot0{,}03=36,\quad D_2=36\cdot2=72,
T_2=6\,000+72=6\,072,\quad c_2=\frac{6\,072}{1\,164}\approx5{,}219.
Máq 3 ( C_3=12, d_3=0{,}01, h_3=70):
P_3 = 12\cdot80\cdot0{,}99 = 950{,}4,\quad O_3=70\cdot80=5\,600,\quad R_3=12\cdot80\cdot0{,}01=9{,}6,\quad D_3=9{,}6\cdot2=19{,}2,
T_3=5\,600+19{,}2=5\,619{,}2,\quad c_3=\frac{5\,619{,}2}{950{,}4}\approx5{,}913.

Passo 3

Como c_1<c_2<c_3, usamos ao máximo as máquinas do tipo 1, depois do tipo 2, e só então do tipo 3.
Máq 1 disponível: 4 unidades, cada uma rende 1\,520 boas, totalizando 4\times1\,520=6\,080 peças. Faltam 7\,240-6\,080=1\,160 peças.
Máq 2 rende 1\,164 boas por máquina. Com 1 máquina 2 obtemos 1\,164 >= 1\,160, sendo suficiente. Não é preciso usar máquina 3.

Resposta

Máquina 1: 4 unidades
Máquina 2: 1 unidade
Máquina 3: 0 unidades

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