Verifique se a função f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\\ 0 \text { se } x<0 \text { ou } x>1\end{array}\right. é uma funçăo de densidade de probabilidade. Calcule a Esperança e a Variância.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} 2x, & 0\le x\le1,\\\\ 0, & x<0\text{ ou }x>1, \end{cases}
e pede para (i) verificar se isso é uma função de densidade de probabilidade (PDF) — ou seja, checar não-negatividade e normalização \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1 — e em seguida (ii) calcular a esperança E[X] e a variância \mathrm{Var}(X).

Passo 2

Primeiro, conferimos a não-negatividade. Para x<0 ou x>1, temos f(x)=0\ge0. Para 0\le x\le1, f(x)=2x e como x\ge0 nesse intervalo, 2x\ge0. Logo, f(x)\ge0 em toda a reta real.

Passo 3

Agora, verificamos a normalização:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}2x\,dx =\bigl[x^2\bigr]_{0}^{1} =1^2-0^2 =1.
Como a integral dá 1, f é de fato uma PDF.

Passo 4

Para a esperança, usamos
E[X] =\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x\,(2x)\,dx =\int_{0}^{1}2x^2\,dx =\bigl[\tfrac{2}{3}x^3\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Para E[X^2], calculamos
E[X^2] =\int_{-\infty}^{\infty}x^2\,f(x)\,dx =\int_{0}^{1}x^2\,(2x)\,dx =\int_{0}^{1}2x^3\,dx =\bigl[\tfrac{2}{4}x^4\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Finalmente, a variância é
\mathrm{Var}(X) =E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2 =\tfrac{1}{2} - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^2 =\tfrac{1}{2} - \tfrac{4}{9} =\tfrac{9-8}{18} =\tfrac{1}{18}.

Resposta

Sim, f é uma função de densidade de probabilidade.
E[X]=\tfrac{2}{3}.
\mathrm{Var}(X)=\tfrac{1}{18}.

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