Cite uma vantagem de se usar o método baseado na série de Taylor de 2^{a} ordem em relação ao método de Euler para se resolver um PVI, do tipo abaixo:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=f(x, y) \\\ y(a)=y_{a} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois métodos numéricos para o PVI
\begin{cases} y' = f(x,y),\\\ y(a)=y_a \end{cases}
especificamente o método de Euler (ordem 1) e o método baseado na série de Taylor de segunda ordem. Vamos focar em como diferem suas ordens de erro e as consequências práticas disso.

Passo 2

O método de Euler tem truncamento local da ordem de \mathcal{O}(h^2) e truncamento global de \mathcal{O}(h). Já o método de Taylor de segunda ordem inclui o termo com y'' na expansão, o que lhe dá truncamento local de \mathcal{O}(h^3) e truncamento global de \mathcal{O}(h^2).

Passo 3

Como o método de Taylor de segunda ordem convergente globalmente como \mathcal{O}(h^2), para um mesmo tamanho de passo h ele produz menor erro acumulado que o método de Euler (que é apenas \mathcal{O}(h)). Em consequência, para atingir uma precisão desejada, podemos usar passos maiores (reduzindo custo computacional) ou obter maior exatidão com o mesmo número de passos.

Resposta

Uma vantagem é que o método de Taylor de segunda ordem tem ordem de convergência global 2 (erro \mathcal{O}(h^2)), enquanto o método de Euler é de ordem 1 (erro \mathcal{O}(h)); assim, o método de Taylor fornece maior precisão por passo e/ou permite usar passos maiores para a mesma precisão.

Exercícios relacionados