Dado o PVI abaixo
(a) Obtenha a solução pelo método baseado na série de Taylor de
ordem. em
subdividindo o intervalo em 2 partes.
(b) Se ussássemos o método de Euler,
subintervalos, o que poderíamos dizer sobre a solução obtida em relação àquela calculada na letra (a)? Justifique a sua resposta sem calcular a solução exata.
(a) Obtenha a solução pelo método de Runge Kutta de
ordem em
, com 2 passos (
).
(b) Se ussássemos o método de Euler,
(a) Obtenha a solução pelo método de Runge Kutta de
Passo 1
O enunciado dá o PVI
em
. Vamos em primeiro lugar aplicar o método de Taylor de 2ª ordem com
subintervalos
, depois comparar teoricamente com o método de Euler com
, e por fim usar Runge–Kutta de 4ª ordem com
.
Passo 2
Para o método de Taylor de 2ª ordem usamos a expansão
onde
. Calculamos as derivadas parciais
Passo 3
Tomando
e
, no nó
temos
logo
No nó
,
, calculamos
Então
Passo 4
Portanto, pelo método de Taylor de 2ª ordem com
,
Passo 5
O método de Euler é de ordem global
(erro
) e, para
,
, espera-se erro
. Já o método de Taylor de 2ª ordem tem erro global
; com
, o erro é
. Logo, mesmo sem conhecer a solução exata, podemos concluir que o Euler com
(erro
) tenderá a ser mais preciso do que o Taylor de 2ª ordem com
(erro
).
Passo 6
Para Runge–Kutta de 4ª ordem com
usamos a fórmula de quatro estágios
No primeiro passo
obtemos
No segundo passo
Resposta
Pelo método de Taylor 2ª ordem com
:
Comparando, Euler com
deve ser mais preciso
com
que Taylor de 2ª ordem com
.
Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem com :
Pelo método de Runge–Kutta 4ª ordem com