Dado o PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-x / y \\\ y(1.0)=4.0 \end{array}\right.
Obtenha o valor de y(2.2) por :
(a) Euler \operatorname{com} m=4 passos.
(b) Runge Kutta de 2^{a} ordem com m=2 passos.
(c) Taylor de 2^{a} ordem com m=2 passos.
(d) Runge Kutta de 4^{a} ordem com m=2 passos.
(e) Qual solução é mais precisa, aquela obtida em (a) ou em (b)? Justifique a sua resposta sem calcular a solução exata.

Passo 1

O problema é o PVI
\begin{cases} y' = -\tfrac{x}{y},\\\ y(1.0)=4.0, \end{cases}
e queremos aproximar y(2.2) pelos métodos:
(a) Euler com m=4,
(b) Runge–Kutta de 2ª ordem com m=2,
(c) Taylor de 2ª ordem com m=2,
(d) Runge–Kutta de 4ª ordem com m=2.
Em cada caso calculamos o passo h=(2.2-1)/m e iteramos a partir de (x_{0},y_{0})=(1,4).

Passo 2

Método de Euler m=4, h=1.2/4=0.3.
A fórmula é
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n}),\quad f(x,y)=-\tfrac{x}{y}.
Iterações:
\begin{aligned} y_{1}&=4.0+0.3\bigl(-\tfrac{1.0}{4.0}\bigr)=4.0-0.075=3.925,\\\ y_{2}&=3.925+0.3\bigl(-\tfrac{1.3}{3.925}\bigr)\approx3.825506,\\\ y_{3}&\approx3.825506+0.3\bigl(-\tfrac{1.6}{3.825506}\bigr)\approx3.699956,\\\ y_{4}&\approx3.699956+0.3\bigl(-\tfrac{1.9}{3.699956}\bigr)\approx3.545901. \end{aligned}

Passo 3

Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio, m=2, h=1.2/2=0.6).
Para cada passo:
\begin{aligned} k_{1}&=f(x_{n},y_{n}),\quad y^{*}=y_{n}+\tfrac{h}{2}k_{1},\quad k_{2}=f\bigl(x_{n}+\tfrac{h}{2},y^{*}\bigr),\\\ y_{n+1}&=y_{n}+h\,k_{2}. \end{aligned}
Iterando:
\begin{aligned} k_{1}&=-\tfrac{1.0}{4.0}=-0.25,\quad y^{*}=4.0+0.3(-0.25)=3.925,\\\ k_{2}&=-\tfrac{1.3}{3.925}=-0.331645,\quad y_{1}=4.0+0.6(-0.331645)=3.801013;\\\ k_{1}&=-\tfrac{1.6}{3.801013}=-0.420994,\quad y^{*}=3.801013+0.3(-0.420994)=3.674715,\\\ k_{2}&=-\tfrac{1.9}{3.674715}=-0.516950,\quad y_{2}=3.801013+0.6(-0.516950)=3.490843. \end{aligned}

Passo 4

Taylor de 2ª ordem m=2, h=0.6.
Temos f(x,y)=-x/y,
f_{x}=-\tfrac1{y},\quad f_{y}=\tfrac{x}{y^{2}},\quad y''=f_{x}+f_{y}f =-\tfrac1{y}-\tfrac{x^{2}}{y^{3}}.
Fórmula:
y_{n+1} =y_{n}+h\,f_{n}+\tfrac{h^{2}}2\,y''_{n}.
Cálculo:
\begin{aligned} y_{1}&=4+0.6(-0.25)+\tfrac{0.36}2\bigl(-0.25-0.015625\bigr)\approx3.802188,\\\ y_{2}&\approx3.802188+0.6\bigl(-\tfrac{1.6}{3.802188}\bigr) +\tfrac{0.36}2\Bigl(-\tfrac1{3.802188}-\tfrac{1.6^{2}}{3.802188^{3}}\Bigr) \approx3.493958. \end{aligned}

Passo 5

Runge–Kutta de 4ª ordem m=2, h=0.6.
Para cada passo:
\begin{aligned} k_{1}&=f(x_{n},y_{n}),\\\ k_{2}&=f\bigl(x_{n}+\tfrac h2,y_{n}+\tfrac h2k_{1}\bigr),\\\ k_{3}&=f\bigl(x_{n}+\tfrac h2,y_{n}+\tfrac h2k_{2}\bigr),\\\ k_{4}&=f(x_{n}+h,y_{n}+h\,k_{3}),\\\ y_{n+1}&=y_{n}+\tfrac h6\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr). \end{aligned}
Iterando dá
y_{1}\approx3.799903,\quad y_{2}\approx3.486898.

Passo 6

Comparando (a) e (b):
Euler é método de ordem 1 (erro global O(h)),
RK2 é de ordem 2 (erro global O(h^{2})).
Mesmo com passo maior em (b), a qualidade do método de ordem superior torna a aproximação de (b) muito mais precisa que a de Euler.

Resposta

(a) y(2.2)\approx3.545901
(b) y(2.2)\approx3.490843
(c) y(2.2)\approx3.493958
(d) y(2.2)\approx3.486898
(e) A solução de (b) é mais precisa porque é um método de ordem 2, enquanto Euler é de ordem 1.

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