Dado o PVI abaixo
Obtenha o valor de
por :
(a) Euler
passos.
(b) Runge Kutta de
ordem com
passos.
(c) Taylor de
ordem com
passos.
(d) Runge Kutta de
ordem com
passos.
(e) Qual solução é mais precisa, aquela obtida em (a) ou em (b)? Justifique a sua resposta sem calcular a solução exata.
(a) Euler
(b) Runge Kutta de
(c) Taylor de
(d) Runge Kutta de
(e) Qual solução é mais precisa, aquela obtida em (a) ou em (b)? Justifique a sua resposta sem calcular a solução exata.
Passo 1
O problema é o PVI
e queremos aproximar
pelos métodos:
(a) Euler com ,
(b) Runge–Kutta de 2ª ordem com ,
(c) Taylor de 2ª ordem com ,
(d) Runge–Kutta de 4ª ordem com .
Em cada caso calculamos o passo e iteramos a partir de
.
(a) Euler com
(b) Runge–Kutta de 2ª ordem com
(c) Taylor de 2ª ordem com
(d) Runge–Kutta de 4ª ordem com
Em cada caso calculamos o passo
Passo 2
Método de Euler
,
.
A fórmula é
A fórmula é
Iterações:
Passo 3
Runge–Kutta de 2ª ordem (método do ponto médio,
,
).
Para cada passo:
Para cada passo:
Iterando:
Passo 4
Taylor de 2ª ordem
,
.
Temos ,
Temos
Fórmula:
Cálculo:
Passo 5
Runge–Kutta de 4ª ordem
,
.
Para cada passo:
Para cada passo:
Iterando dá
Passo 6
Comparando (a) e (b):
Euler é método de ordem 1 (erro global ),
RK2 é de ordem 2 (erro global ).
Mesmo com passo maior em (b), a qualidade do método de ordem superior torna a aproximação de (b) muito mais precisa que a de Euler.
Euler é método de ordem 1 (erro global
RK2 é de ordem 2 (erro global
Mesmo com passo maior em (b), a qualidade do método de ordem superior torna a aproximação de (b) muito mais precisa que a de Euler.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) A solução de (b) é mais precisa porque é um método de ordem 2, enquanto Euler é de ordem 1.
(b)
(c)
(d)
(e) A solução de (b) é mais precisa porque é um método de ordem 2, enquanto Euler é de ordem 1.