City tem taxa de crescimento populacional de 2 % ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população de City dobrará, sabendo que a taxa de crescimento é constante?

Passo 1

O enunciado diz que a população de City cresce a uma taxa de 2% ao ano de forma composta e constante. O conteúdo matemático aplicado aqui é o modelo de crescimento exponencial (equivalente a juros compostos), em que a população no ano t é dada por
P(t)=P0,(1+0,02)^t,
sendo P0 a população inicial.

Passo 2

Para dobrar a população, queremos encontrar t tal que
P(t)=2P0
Substituindo no modelo, fica
P0,(1,02)^t=2P0
Podemos cancelar P0 dos dois lados, obtendo
(1,02)^t=2

Passo 3

Para resolver (1,02)^t=2, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
lnl((1,02)^tr)=ln(2)
Como ln(a^t)=t,ln(a), temos
t,ln(1,02)=ln(2)
Logo
t=ln(2)ln(1,02)

Passo 4

Basta agora calcular numericamente:
ln(2)approx0,693147, ln(1,02)approx0,019802,
portanto
tapprox0,6931470,019802approx34,99
Arredondando, a população dobra em cerca de 35 anos.

Resposta

A população de City dobrará em aproximadamente 35 anos.

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