(2 pontos) Encontre o centro de massa do fio dado pela curva C com densidade f :
C é o segmento entre os pontos: (2,0) e (0,4), f(x, y)=y.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um fio disposto sobre o segmento C que vai de (2,0) a (0,4), com densidade linear em cada ponto dada por f(x,y)=y.
O conteúdo é cálculo de integrais de linha para massa e coordenadas do centro de massa. Usamos as fórmulas
M=integralC f,ds, bar x=1MintegralC x,f,ds, bar y=1MintegralC y,f,ds

Passo 2

Parametrizamos C por
vec r(t)=(x(t),y(t))=(2-2t,;4t), tin[0,1]
Então
dxdt=-2, dydt=4,
ds=|vec r,'(t)|,dt=raiz(-2)^2+4^2,dt=raiz20,dt=2raiz5,dt,
fl(vec r(t)r)=y(t)=4t
Logo a massa total é
M=integral0^1 f(vec r(t)),ds =integral0^1(4t),(2raiz5),dt =8raiz5integral0^1 t,dt =8raiz5cdot12 =4raiz5

Passo 3

Para integralC x,f,ds, escrevemos
integral0^1 x(t),f(vec r(t)),|vec r,'(t)|,dt =integral0^1 (2-2t),(4t),(2raiz5),dt =8raiz5integral0^1(2t-2t^2),dt
Calculando o integral:
integral0^1(2t-2t^2),dt =l[t^2-tfrac23t^3r]0^1 =1-tfrac23 =tfrac13,
logo
integralC x,f,ds =8raiz5cdottfrac13 =83raiz5

Passo 4

Para integralC y,f,ds, temos
integral0^1 y(t),f(vec r(t)),|vec r,'(t)|,dt =integral0^1(4t),(4t),(2raiz5),dt =32raiz5integral0^1 t^2,dt =32raiz5cdottfrac13 =323raiz5

Passo 5

As coordenadas do centro de massa seguem
bar x =1MintegralC x,f,ds =tfrac83raiz54raiz5 =8/34 =23,
bar y =1MintegralC y,f,ds =tfrac323raiz54raiz5 =32/34 =83

Resposta

O centro de massa do fio é
l(bar x,bar yr) =l(tfrac23,;tfrac83r)

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