Usando o método da bisseç̧ão, determine uma raiz da equação:
com a precisão
. Localize um intervalo I de amplitude 1, que contenha o zero.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos usar o método da bisseção para encontrar uma raiz da equação
com uma precisão de
. Além disso, devemos localizar um intervalo
com amplitude 1 que contenha essa raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia principal é dividir repetidamente um intervalo em dois subintervalos e selecionar aquele que contém a raiz, garantindo assim a aproximação progressiva da solução.
Passo 3
Para aplicar o método, precisamos encontrar um intervalo inicial
onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos (
). Isso garante, pela Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz dentro desse intervalo.
Passo 4
Vamos testar valores para encontrar tal intervalo de amplitude 1:
- Teste com
:
- Teste com
:
Aqui,
e
. Como
é negativo e
, ainda não temos a mudança de sinal necessária para aplicar o método da bisseção.
- Teste com
:
- Teste com
:
Agora,
e
. Embora
, o que indica que
é uma raiz exata, vamos considerar o intervalo
para ilustrar o método da bisseção.
Passo 5
Como já identificamos que
é uma raiz exata, o método da bisseção pode se encerrar aqui. Porém, para fins didáticos, vamos assumir que não temos uma raiz exata e prosseguir com o método:
- Calcular o ponto médio
do intervalo :
-
Avaliar
: - Se
, encontramos a raiz. - Se
, a raiz está em . - Se
, a raiz está em .
- Se
-
Repetir o processo com o novo intervalo até que a precisão desejada seja alcançada.
Passo 6
Aplicando o método ao nosso intervalo
:
- Primeira iteração:
Como
e
, a raiz está em
.
- Segunda iteração:
A raiz está em
.
- Terceira iteração:
A raiz está em
.
Continuando esse processo até alcançarmos a precisão de
.
Resposta
Depois de aplicar o método da bisseção com a precisão solicitada, encontramos que a raiz da equação
está em
.