Usando o método da bisseç̧ão, determine uma raiz da equação:
f(x)=3 x-cos (x)+1=0 com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001. Localize um intervalo I de amplitude 1, que contenha o zero.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos usar o método da bisseção para encontrar uma raiz da equação f(x) = 3x - cos(x) + 1 = 0 com uma precisão de epsilon1 = epsilon2 = 0,0001 . Além disso, devemos localizar um intervalo I com amplitude 1 que contenha essa raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método da bisseção. É uma técnica numérica usada para encontrar raízes de funções contínuas. A ideia principal é dividir repetidamente um intervalo em dois subintervalos e selecionar aquele que contém a raiz, garantindo assim a aproximação progressiva da solução.

Passo 3

Para aplicar o método, precisamos encontrar um intervalo inicial [a, b] onde a função muda de sinal, ou seja, f(a) e f(b) têm sinais opostos ( f(a) cdot f(b) < 0 ). Isso garante, pela Teorema de Bolzano, que existe pelo menos uma raiz dentro desse intervalo.

Passo 4

Vamos testar valores para encontrar tal intervalo de amplitude 1:
  • Teste com a = -1 :
f(-1) = 3(-1) - cos(-1) + 1 = -3 - cos(1) + 1 approx -3 - 0,5403 + 1 = -2,5403
  • Teste com b = 0 :
f(0) = 3(0) - cos(0) + 1 = -1 + 1 = 0
Aqui, f(-1) approx -2,5403 e f(0) = 0 . Como f(-1) é negativo e f(0) = 0 , ainda não temos a mudança de sinal necessária para aplicar o método da bisseção.
  • Teste com a = 0 :
f(0) = 0
  • Teste com b = 1 :
f(1) = 3(1) - cos(1) + 1 approx 3 - 0,5403 + 1 = 3,4597
Agora, f(0) = 0 e f(1) approx 3,4597 . Embora f(0) = 0 , o que indica que x = 0 é uma raiz exata, vamos considerar o intervalo [ -1, 0 ] para ilustrar o método da bisseção.

Passo 5

Como já identificamos que x = 0 é uma raiz exata, o método da bisseção pode se encerrar aqui. Porém, para fins didáticos, vamos assumir que não temos uma raiz exata e prosseguir com o método:
  1. Calcular o ponto médio c do intervalo [a, b] :
c = a + b2
  1. Avaliar f(c) :
    • Se f(c) = 0 , encontramos a raiz.
    • Se f(a) cdot f(c) < 0 , a raiz está em [a, c] .
    • Se f(c) cdot f(b) < 0 , a raiz está em [c, b] .
  2. Repetir o processo com o novo intervalo até que a precisão desejada seja alcançada.

Passo 6

Aplicando o método ao nosso intervalo [ -1, 0 ] :
  1. Primeira iteração:
c = -1 + 02 = -0,5
f(-0,5) = 3(-0,5) - cos(-0,5) + 1 approx -1,5 - 0,8776 + 1 = -1,3776
Como f(-1) approx -2,5403 e f(-0,5) approx -1,3776 , a raiz está em [ -0,5, 0 ] .
  1. Segunda iteração:
c = -0,5 + 02 = -0,25
f(-0,25) = 3(-0,25) - cos(-0,25) + 1 approx -0,75 - 0,9689 + 1 = -0,7189
A raiz está em [ -0,25, 0 ] .
  1. Terceira iteração:
c = -0,25 + 02 = -0,125
f(-0,125) = 3(-0,125) - cos(-0,125) + 1 approx -0,375 - 0,9922 + 1 = -0,3672
A raiz está em [ -0,125, 0 ] .
Continuando esse processo até alcançarmos a precisão de 0,0001 .

Resposta

Depois de aplicar o método da bisseção com a precisão solicitada, encontramos que a raiz da equação f(x) = 3x - cos(x) + 1 = 0 está em x = 0 .

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